莫比烏斯反演

（這大概是我第一次寫學習筆記吧ovo）

可能每乙個剛開始接觸莫比烏斯反演的oier，起初都會厭惡這個神奇的東西。(我也一樣233)每乙個人厭惡的原因有許多，可能是這個煩人的式子，也可能僅僅只是因為不理解\(\mu\)函式而感到不爽。當然，莫比烏斯反演有乙個小小的預備知識：整除分塊

那麼我們先從莫比烏斯反演中最基礎的莫比烏斯函式\(\mu\)開始說起：

當\(d=1\)時，\(\mu(d)=1\)；

當\(d=\pi_^p_i\)且\(p_i\)為互異素數時，\(\mu(d)=(-1)^k\)。(說直白點，就是\(d\)分解質因數後，沒有冪次大於平方的質因子，此時函式值根據分解的個數決定)；

只要當\(d\)含有任何質因子的冪次大於等於2，則函式值為0.

對於任意正整數\(n\)，\(\sum_\mu(d)=[n=1]\)。（\([n=1]\)表示只有當\(n=1\)成立時，返回值為\(1\)；否則，值為\(0\)；(這個就是用\(\mu\)是容斥係數的性質可以證明)(ps:這一條性質是莫比烏斯反演中最常用的)

對於任意正整數\(n\)，\(\sum_\frac=\frac\)。（這個性質很奇妙，它把尤拉函式和莫比烏斯函式結合起來，或許我之後寫杜教篩的學習筆記時會去證明吧）

那我還是給一段線篩的**吧

void get_mu(int n)
for(int j=1;j<=cnt&&prim[j]*i<=n;j++)
}}

\[f(n)=\sum_f(d)

\]那麼存在乙個結論：

\[f(n)=\sum_\mu(d)f(\lfloor\frac\rfloor)

\]這個定理就稱作莫比烏斯反演定理。

\[\sum_\mu(d)f(\lfloor\frac\rfloor)=\sum_\mu(d)\sum_\rfloor}f(i)

\]\[=\sum_f(i)\sum_\rfloor}\mu(d)=f(n)

\](ps:如果不知道最後一步怎麼來的，可以再去看性質一，至於和式的變換，就自己腦補一下吧)

\[f(n)=\sum_f(d)

\]可以推出：

\[f(n)=\sum_\mu(\frac)f(d)

\]那麼，莫比烏斯反演的基本內容就說完了。知道了這些內容，就已經可以解決一些有關的問題了。我做了一些關於莫比烏斯反演的題，具體題解可以看看我部落格中的內容。

(未完，待更新)