莫比烏斯反演在許多情況下可以簡化運算。
定理：f（n）和f（n）是定義在非負整數集合上的兩個函式，並且滿足條件f(n)=∑d|n f(d)。
附：∑d|n 的意思是對所有n的因子d求和。
那麼，我們得到結論：
f(n)=∑d|n μ(d)f(n/d)
在上面的公式中有乙個μ(d)函式（莫比烏斯函式），它的定義如下：
(1) 若d==1，那麼μ(d)=1;
(2) 若d=p1p2p3...pk,pi均為互異素數，那麼μ(d)=(-1)k次方；
(3) 其他情況下μ(d)=0；
對於μ(d)函式，它有如下常見性質：
(1) 對任意正整數n有：∑d|n μ(d)= 1 if(n==1) else if(n>1) =0
(2) 對任意正整數n有：∑d|n μ(d)/d = φ(n)/n
用線性篩法求莫比烏斯函式的**:
bool vis[10045];//標記陣列，是否是素數int n,cnt,prime[10045],mu[10045]；//n是範圍,cnt是素數個數，prime是素數陣列，mu是該數的莫比烏斯函式
void init()
for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++)//遍歷之前的素數，並且i*prime[j]在n的範圍內 }}
}
接下來是莫比烏斯反演定理的證明：
恒等變形得：
f(n)=∑d|nμ(d)f(nd)=∑d|nμ(d)∑k|ndf(k)=∑k|nf(k)∑d|nkμ(d)
因為之前證明的這個定理：
∑d|nμ(d)={10n==1n>1
所以當且僅當nk=1
，即n=k時，∑d|nkμ(d)=1
,其餘時候等於0。
故∑k|nf(k)∑d|nkμ(d)=f(n)
莫比烏斯反演 二 莫比烏斯反演定理
首先設兩個任意函式f x 和f x 定義運算 f x sum f d 這時就可以用f x 表示f x f 1 f 1 f 2 f 1 f 2 f 3 f 3 f 1 f 4 f 4 f 2 f 1 f 5 f 5 f 1 f 6 f 6 f 3 f 2 f 1 這時可以試著用f x 表示f x f ...
莫比烏斯反演
首先 莫比烏斯函式有個性質 d n d 1 n 1 0 n 1 證明 n 1時，不做多餘說明。n 1 根據唯一分解定理，可以分解n ki 1pai i 對於那些含平方因子也就是存在ai 不為1的數，它的函式值為0，對答案沒有任何貢獻。所以我們來看看那些是互異素數乘積的數，每乙個成為它約數的數是什麼樣...
莫比烏斯反演
定理 f n 和f n 是定義在非負整數集合上的兩個函式，並且滿足條件f n d nf d 那麼我們得到結論f n d n d f n d 在上面的公式中有乙個函式 d 它的定義如下 1 若d 1，那麼 d 1 2 若d p1 p2 p k 均為互異素數，那麼 d 1 k 3 其它情況下 d 0 對...