揹包問題入門記錄

感謝趙宗昌老師

01揹包

//

01 暴力 
void dfs(int i,int j,int s) 
dfs(i+1,j,s);//
不選if(j>=w[i]) dfs(i+1,j-w[i],s+c[i]);//
能裝下就選物品i 
}int
main() 
//01 二進位制列舉
int k=1

if(w<=m) ans=max(ans,c);
} cout
o(2^n) 適合n<=20
//01-1
for(int i=1;i<=n;i++)//
前i個物品用了j的容量 
for(int j=0;j<=m;j++)
f[i][j]=f[i-1
][j];
if(j>w[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-w[i]+c[i]); 
//01-2
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=m;j++)
for(int k=0;k<=1;k++)
if(j>k*w[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-w[i]*k]+k*c[i]); 
//01-3滾動陣列
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=m;>=w[i];j--)//
防止乙個物品選多次 
f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
cout
<
完全揹包
//完全-1
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;i<=m;j++) 
//完全-2
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=m;j++)
for(int k=0;k<=j/w[i];k++)
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*w[i]]+k*c[i]);
//完全-3
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=w[i];j<=m;j++)
f[j]=max(f[j],f[j-w[i]+c[i]);

完全揹包問題轉化為01揹包問題來解。

最簡單的想法是，考慮到第i種物品最多選v/w[i]件，於是可以把第i種物品轉化為v/w[i]件費用及價值均不變的物

品，然後求解這個01揹包問題。這樣完全沒有改進基本思路的時間複雜度，但這畢竟給了我們將完全揹包問題轉化

為01揹包問題的思路：將一種物品拆成多件物品。

高效的轉化方法是：把第i種物品拆成費用為w[i]*2^k、價值為c[i]*2^k的若干件物品，其中k滿足w[i]*2^k多重揹包

//

多重揹包-1 ->完全揹包
//o(v*σs[i])
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=v;j++)
for(int k=0;k<=s[i];k++)
if(j>=k*w[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*w[i]]+k*c[i]);
//滾動陣列
for(int i=1;i<=n;i++) 
for(int j=v;j>=0;j--)
for(int k=0;k<=s[i];k++)
if(j>=k*w[i]) f[j]=max(f[j],f[j-k*w[i]]+k*c[i]);
//多重揹包-2 ->01揹包+滾動陣列 
//第i件物品，看做s[i]件一樣的物品i，變成了s[1]+..+s[n]件物品的0-1揹包，每個揹包取還是不取
//o(v*σs[i]) 
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=s[i];j++)
for(int k=v;k>=w[i];k--) 
f[k]=max(f[k],f[k-j*w[i]]+j*c[i]);
//二進位制
//o(v*sum(log(s[i])))
for(int i=1;i<=n;i++)
z=z-k;
}}for(int i=1;i<=sn;i++)
for(int j=v;j>=w[i];j--)
f[j]=max(f[j], f[j-w[i]]+c[i]);

混合揹包一般完全揹包單獨求解，多重揹包和01揹包用01揹包求解

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