一、樹狀陣列基礎
學oi的同學都知道，位運算（對二進位制的運算）比普通運算快很多。同時我們接觸到了狀態壓縮的思想（即將0-1的很多個狀態壓縮成十進位制的乙個數，每乙個二進位制位表示乙個狀態）。由於在實際做題過程當中，由於資料範圍限制，我們必須採用更高效的儲存、查詢方法，於是樹狀陣列應運而生。
首先我們檢查傳統的儲存狀態。對於陣列的每乙個下標i，其所儲存的有效資訊只有乙個a[i]（這是傳統陣列）。而對於樹狀陣列，我們每一位下標可以儲存lowbit(i)個有效資訊。這個lowbit運算一會再說。所以儘管樹狀陣列很難壓縮真正的儲存空間，但查詢的時候可以把n的複雜度壓縮成log（n）。這裡的查詢指區間查詢和單點修改。
為什麼有這樣的查詢效率？對於乙個區間[1,x]，我們把它分成log(x)個小區間。設x=2i1+2i2+……2im（這不由得讓我們想起快速冪的分解方法），不妨設i1>i2>……>im，則我們可以把[1,x]分成以下小區間：
(1)長度為2i1的小區間[1,2i1]
(2)長度為2i2的小區間[2i1+1,2i1+2i2]
(log(n))長度為2im的小區間[2i
m-1+1,……+2im]
比如[1,6]可以分成[1,4]和[5,6]
所以我們如果想修改這個區間[1,x]的和，我們只需要修改這log(n)個區間的的和即可。
先上個圖：
所以我們現在的問題在於，如果我們要查詢a[idx]的字首和，假設最開始idx是6：
則我們先加上最後一段小區間，令idx=6-21；
再加上第一段小區間，令idx=6-21-22。
應當注意的是，我們每次多減去的那個2i，實際上那個i是idx的二進位制最靠近個位的那一位1對應到的數的編號。
舉個例子：
10的二進位制是1010，最靠近個位的乙個1是在第二位，所以我們第一次減掉22；
得到的新數是8，二進位制是1000，最靠近個位的乙個1是在第四位，所以我們減掉24得到0。
我們減掉2k這個過程，我們把它量化，記原來的陣列是a，我們開的陣列是c，則每次我們加上的區間就是c[idx]，然後idx往前移動到c[idx]儲存的區間的前一位，繼續這個步驟。
比如說，我們要計算a[1]到a[6]的和，我們讓idx=6，我們發現剛才我們拆分[1,6]的結果最後乙個小區間是[5,6]，所以我們用c[6]記錄a[5]+a[6]，然後跳到c[4]，用c[4]記錄a[1]+a[2]+a[3]+a[4]，即可得到答案。c陣列就是我們說的樹狀陣列。
那到底這個[1,n]的小區間怎麼拆分？因為我們每次減掉的那個2i的i都是離個位最近的乙個1所在的位置，所以我們只需要按照上述規則從後往前遍歷n的所有二進位制位，就可以遍歷儲存這個數的所有小區間。
比如說我們從6(110)遍歷到4(100)（其中經過了[5,6]），然後遍歷到0，其中經過了[1,4]。
也就是說，我們只需要找到每次要減掉的2i即可。
重點來了！！！
我們定義每次減掉的數是lowbit(i)（其中i是進行減法操作之前的數），也就是說lowbit(i)=2m，其中m是i的二進位制最靠個位乙個1的位置。定義了這個，我們實際上就是定義c[i]是以a[i]結尾長度為lowbit(i)的a陣列內的區間，即c[i]=a[i-lowbit(i)+1]+a[i-lowbit(i)+2]+……+a[i]。這樣每次idx跳躍乙個lowbit(idx)，就相當於恰好跳過了需要被加上的一段小區間，而加上這一段小區間的和只需要o(1)的複雜度。
怎麼算這個lowbit(i)？這就要用到科學家們的智慧型。
lowbit(i)=x&(-x)。
為什麼這個數就能滿足我們的要求？
我們來補充一點二進位制的知識：
我們在儲存乙個數時，int型別是乙個32位有符號整數，其中第一位是符號位，1表示負數，0表示正數。
這裡利用的負數的儲存特性，負數是以補碼儲存的，對於整數運算 x&(-x)有
● 當x為0時，即 0 & 0，結果為0；
●當x為奇數時，最後乙個位元位為1，取反加1沒有進製，故x和-x除最後一位外前面的位正好相反，按位與結果為0。結果為1。
●當x為偶數，且為2的m次方時，x的二進位制表示中只有一位是1（從右往左的第m+1位），其右邊有m位0，故x取反加1後，從右到左第有m個0，第m+1位及
其左邊全是1。這樣，x& (-x) 得到的就是x。
●當x為偶數，卻不為2的m次方的形式時，可以寫作x= y * (2^k)。其中，y的最低位為1。實際上就是把x用乙個奇數左移k位來表示。這時，x的二進位制表示最
右邊有k個0，從右往左第k+1位為1。當對x取反時，最右邊的k位0變成1，第k+1位變為0；再加1，最右邊的k位就又變成了0，第k+1位因為進製的關係變成了1。
左邊的位因為沒有進製，正好和x原來對應的位上的值相反。二者按位與，得到：第k+1位上為1，左邊右邊都為0。結果為2^k。
總結一下：x&(-x)，當x為0時結果為0；x為奇數時，結果為1；x為偶數時，結果為x中2的最大次方的因子。
一定注意，lowbit(0)會陷入死迴圈。
所以我們只需要利用這種運算，就可以在log(n)的複雜度內分割小區間，從而計算從a[1]到a[n]的和。
同樣我們考慮修改乙個值a[idx]，因為c陣列儲存a陣列的值有重複，所以我們必須將所有包含a[idx]的c[i]都進行修改。所以，同剛才的步驟，我們只需要根據某種順序順次查詢每個包含a[idx]的c[i]即可。
這個順序非常容易想到：
剛才我們已經知道，我們用c[i]表示從i往前數lowbit(i)個a[i]的總和。根據樹狀陣列的特殊結構，我們查詢的步驟如下：
找到c[i]（肯定包含a[i]）----->找到第乙個包含c[i]的c[j]--------->找到第乙個包含c[j]的c[k]……
一定注意這個步驟，這是因為樹狀陣列的本質是一棵樹，乙個點只有乙個父親，這個我們之後會說。
根據lowbit的定義，同時根據二進位制的特性，有以下兩個特徵：
（1）lowbit每向左移一位，其表示的lowbit(i)（也就是對應的區間長度，見前文）就乘以2；
（2）根據上文，我們要找到的數實際上是比他大的第乙個lowbit往前移動一位的數（比如說5（101），6（110），lowbit移動了一位）。
所以我們怎麼找這樣的數？？？
要解決這個問題，我們必須回到二進位制的加法：
比如說6+2，在二進位制裡的表示是這樣的：
1 1 0
+0 1 0
---1-------
1 0 0 0
這難道不是我們剛才要的lowbit移動的方法？？我們已經把最後乙個1進製到了前面。我們只需要找到第二個和它相加的那個數即可。
因為要進製最後乙個1，同時我們需要使底下那個數最小，所以我們只需要找到乙個數，它前面後面都是0，中間那個與第乙個數最後乙個1對上的那一位是1.不明白的參見上面的例子。
有沒有覺得上面這個很熟悉？？？？
綜上所述，我們得到：
（1）樹狀陣列求字首和：求1-i的和，每次加上c[i]，然後減去lowbit(i)。
（2）樹狀陣列單點修改：修改a[i]時修改c[idx]，然後idx+=lowbit(idx)，最開始idx=i。
二、樹狀陣列的幾何認識
剛才我們已經了解了樹狀陣列的基本操作，下面我們從樹本身的角度認識樹狀陣列的性質和操作。
根據上面的圖我們可以知道，樹狀陣列具有以下幾個性質：
（1）紅色節點和其父親之間的橫向距離是lowbit(i)，這是樹狀陣列構建的基礎，所以我們每次修改乙個a[i]的值其實是修改所有以c[i]為根的且包含a[i]的子樹的c[i]的值，也就是說從a[i]每次向上找到其父親，並修改a[i]每一級父親的值即可。
（2）查詢乙個點的字首和時，相當於從這個點每次找到它的兒子覆蓋的區間，而每個點覆蓋的區間是從這個點到它最左邊的兒子，所以每次減去lowbit(i)即可。
高階用法待填坑。
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