聽說特徵法是數學中解常係數線性微分方程的一種通用方法。
而這裡簡單談談特徵根法的運用：用數列的遞推公式求通項公式，用通項公式求遞推公式
特徵根方法的證明需要線性代數相關知識，留坑。
斐波那契數列的公式推導：
定義\(\text\)數列：\(f(0)=0,f(1)=1,f(n)=f(n-1)+f(n-2), n\geq 2\)
考慮這個遞推式：\(f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)\)，找到乙個一元二次方程與之對應（二次項對應\(f(n)\)，一次項對應\(f(n-1)\)，常數項對應\(f(n-2)\)）
\(x^2 = x + 1\)
這個方程稱為特徵方程。
解出來特徵根：\(x_1=\frac,x_2=\frac\)
則\(f(n)=c_1 x_1^n+c_2 x_2 ^n\)。把\(f(0)=0,f(1)=1\)代入，得到了：
\(c_1 + c_2 = 0, c_1 x_1 + c_2 x_2 = 1\)
\[f(n)=\frac\right)^n-\left(\frac\right)^n}
\]一般遞推式的解法
形式化地，考慮形如\(f(n+2)=pf(n+1)+qf(n)\)的遞推式子
我們把上面的式子換成：\(f(n+2)-(x1+x2)f(n+1)+(x1x2)f(n)=0\)
顯然\(x1 + x2 = p,x1x2=-q\)。所以\(x1,x2\)是\(x^2-px-q=0\)的兩個根
\(f(n)\)就可以表示成\(c_1 x_1^n+c_2 x_2^n, c_1,c_2\)是常數
沒有實數解怎麼辦？用複數。
反求遞推式
某些時候通項公式可能不好計算，我們只能求出遞推式然後矩陣快速冪求
看乙個例子：
\(f(n)=\frac\)
令\(x_1=\sqrt a + b,x_2=\sqrt a - b\)
特徵根方程即\(x^2-2bx+(b^2-a)=0\)（韋達定理）
所以 \(f(n)=2b f(n-1)-(b^2-a)f(n-2)\)
逆波蘭法求解數學表達示（C ）
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