單位根反演，顧名思義就是用單位根變換一類式子的形式。有關單位根的基本概念可見我的這篇部落格。
單位根反演的公式很簡單：
\[[k|n]=\frack\sum_^\omega_k^
\]分類討論：
\(k|n\). 那麼 \((\forall i)(\omega_k^=1)\)，所以右側為 \(\frack\sum_^1=1\)。
\(k\not=n\). 等比數列求和，右側為 \(\frack\cdot\frac}\)，其中 \(\omega_k^=1\)，故分子為 \(0\)，分母不為 \(0\)，式子的值為 \(0\)。
綜上，得證。
實際問題中，我們往往需要求出對於某個多項式（多為生成函式）\(f\) 的特定倍數次數的係數和。即求：
\[\sum_^k\rfloor}[x^]f(x)
\]運用單位根反演的基本公式變形：
\[\begin
\sum_^k\rfloor}[x^]f(x)&=\sum_^n[k|i][x^i]f(x)\\
&=\sum_^n[x^i]f(x)\cdot\frack\sum_^\omega_k^\\
&=\frack\sum_^\sum_^n[x^i]f(x)(\omega_k^j)^i\\
&=\frack\sum_^f(\omega_k^j)
\end
\]只要能快速求出 \(f\) 在所有 \(k\) 次單位根處的點值，就能 \(\mathcal o(k)\) 得出原式的值啦。
更方便的形式，若我們想求 \(i\bmod k=r\) 時 \([x^i]f(x)\) 之和，只需要在運用反演時移動一下 \(\omega_k\) 的指標：
\[\begin
\sum_^n[i\bmod k=r][x^i]f(x)&=\frack\sum_^n\left(\sum_^\omega_k^ \right)[x^i]f(x)\\
&=\frack\sum_^\omega_^f(\omega_k^j)
\end
\]當然，我們常用原根代替單位根。
「loj 6485」 ljj 學二項式定理 & my solution.
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