給出兩個整數\(n,s\)以及乙個長度為\(4\)的陣列\(a_\)。
求：$\sum_^ c(n,i) s^i a_ $。
因為只有\(4\)個值，所以我們考慮將答案拆開：
\[ ans = \sum_^ \sum_^ [i \equiv r\mod 4] c(n,i) s^i
\]我們考慮單位根反演：
\[ [k|n] = \frac \sum_^ \omega_^
\]考慮證明：
\(k|n\)成立，那麼顯然等於\(1\)。
如果\(k\not|n\)，那麼可以寫成等比數列求和：\(\sum_^\omega_^ = \frac^-1}^-1} = 0\)
那麼我們就可以將答案寫成：
\[ ans = \sum_^ a_r \sum_^ [4 | (i-r)] c(n,i) s^i
\]\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \sum_^ a_r \sum_^ c(n,i) s^i \frac\sum_^\omega_^
\]\[ \ \ \ \ \ = \sum_^ a_r \sum_^ \omega_^ \sum_^ c_^ s^i \omega_^
\]\[ \ \ \ = \sum_^ a_r \sum_^ \omega_^ (s\omega_^+1)^n
\]就做完了。
單位根反演
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單位根反演學習筆記
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