最近在看ckks方案，裡面的編碼/解碼用到了n次單位根，感覺基於環上的加密，很多都會用到，現在系統的學習一下！先看定義：
\[z^n=1，(n=1,2,3,...)
\]該方程的根z為n次單位根，就是說這些根是複數！
簡單說：n次方根，就是多項式\(x^n-1\)或方程\(x^n-1=0\)在複數域內的n個不同的根，簡稱單位根
具體來講，單位根有n次根的有n個：$$z_i=e^,(k=0,1,2,..,n-1)$$
複數域內：$$x_k=cos(2k\pi/n)+sin(2k\pi/n)i,(k=0,1,2,..,n-1),i是虛數單位$$
舉個例子：
其中提到了「本源根」，後面再去單獨介紹！1、對於方程\(x^n-1=0\)，不同的我單位根只有n個
例如：取k=0,1,2,..,n-1，就得到n個不同的n次單位根
取\(k=q*n+m,(q\in \mathbb^+,m=(0,1,...,n-1))\)時，\(x_k=x_=x_m\)
2、n次單位根的模為1，即\(|x_k|=1\)
3、兩個n次單位根（\(x_i,x_j\)）的乘積，仍是乙個n次單位根\(w_i*w_j=w_\)，則：
（1）\((x_i)^=x_\)
（2）\((x_m)^=x_\)，（m，k是任意整數，當k=0時，\((x_m)^=1=x_\)）
（3）\(x_=x_l\)：需要gcd(m,l)=1
（4）任何乙個單位根都可以寫為\(x_0\)的冪，如\(x_m=(x_1)^m\)，這種根叫做n次本原單位根，簡稱n次原根或原根。當p和n互素且\(1 \leqslant p < n\)時，\(x_1^p\)都是n次本原單位根
（5）乙個n次單位根的共軛複數也是乙個n次單位根，記 \(\overline=x_\)
（6）對於任意的l和r，都有\((x_i)^r=(x_r)^l\)
（7）若a是整數，則
\[1+x_1^a+x_2^a+...+x_^a=\left\
\\n,gcd(a,n)=1
\\ \\
\\0,gcd(a,n)\neq 1
\end\right.\]
（8）全部單位根把複數平面的單位圓周(|z|=1)n等分了，構成了外接圓半徑為1的正n邊形的頂點，其中乙個頂點為 \(x_0(1,0)\)
舉例：
單位根反演
定理 n mid a dfrac1n sum omega n 證明 使用等比數列求和 a 0 mod n 公比不為 1 原式 dfrac1n times dfrac 1 dfrac1n times dfrac 0 a 0 mod n 公比為 1 原式 dfrac1n times n times om...
單位根反演推導
給出兩個整數 n,s 以及乙個長度為 4 的陣列 a 求 sum c n,i s i a 因為只有 4 個值，所以我們考慮將答案拆開 ans sum sum i equiv r mod 4 c n,i s i 我們考慮單位根反演 k n frac sum omega 考慮證明 k n 成立，那麼顯然...
學習筆記 單位根反演
n k frac sum omega 證明 首先根據單位根的性質 omega 1 所以當 n k 時每一項都等於 1 有 frac sum omega 1 當 n k 不成立時，omega k neq 1 等比數列求和得 frac sum omega frac times frac k 又因為 om...