小聲bb：本來看skyh推的部落格，是來學容斥的，莫名其妙被強塞了反演
好多童鞋還不知道啥是反演，反正聽起來挺牛逼的，誰會誰被膜。
比如說有兩個未知量 \(x,y\)，我們用 \(x\) 表達出來了 \(y\)，比如乙個一次函式：
\[y=kx+b
\]那麼我們用 \(y\) 表示 \(x\) 就是：
\[x=\frac
\]\(emmmm\)，這差不多就是個反演。
然後我們就搞高階一點：
假設有兩個函式 \(f\) 和 \(g\) 滿足：
\[f[n] = \sum_a_\times g[k]
\]已知 \(f\) 求 \(g\) 的過程就叫做「反演」。
有 \(n\) 個小盆友，每個人有乙個編號 \(1,2...,n\) 。
將這 \(n\) 個小盆友排成一列，編號為 \(i\) 的小盆友不能在第 \(i\) 個位置。
求出所能排隊的方案數，\(n\leq 10^5\) 。
我們拿出高一老師（？？）常拿的韋恩影象：
定義：\(a\) 集合：編號為 \(1\) 的小盆友站到 \(1\) 的方案數。
\(b\) 集合：編號為 \(2\) 的小盆友站到 \(2\) 的方案數。
\(c\) 集合：編號為 \(3\) 的小盆友站到 \(3\) 的方案數。
我們要求的就是 \(n! - |a\cup b\cup c|\)，用簡單的容斥可得：
\(ans=n! - (|a|+|b|+|c|-|a\cap b|-|b\cap c|-|a\cap c|+ |a\cap b\cap c|)\)
我們可以大膽猜想：
\[ans = \sum_^(-1)^k\times \binom\times (n - k)!\;(假設 0! = 1)
\]\(\binom\times (n - k)!\) 表示強硬的將 \(k\) 個人放到自己應該放的位置（\(i\) 放到第 \(i\) 個位置），剩下 \(n-k\) 個人隨便放的方案數。
比如說你加上了乙個 \(k=2\) 的方案數，強硬地將 \(2\) 個人，後面我們統計 \(k=3\) 時，我們會發現：在前面 \(k=2\) 時，可能有某個小盆友被放到了自己應該放的位置，所以要
減去這些被多餘統計的方案，加法同理。
定義 \(f[n]\) 表示 \(n\) 個人隨便站的方案數。
定義 \(g[n]\) 表示 \(n\) 個人都不站在自己應該在的位置的方案數。
這樣我們直接列舉有多少個人站錯位置，便可求出 \(f[n]\)。
\[f[n]=\sum_^\times \binom\times g[k]
\]但是我們會發現，我們可以直接用 \(f[n] = n!\) 求出 \(f[n]\)，而且我們還不會求出 \(g[n]\)，難受～～～
我們會發現之前解決那個例題的公式中有乙個這個東東：
\[\sum_^(-1)^k\times \binom
\]易得：這個東東只有 \(n=0\) 時才為 \(1\)，否則即為 \(0\) 。
所以上面那個東東就可以化為：
\[\sum_^(-1)^k\times \binom=[n=0]
\]之前我們新定義裡：
用 \(g[n]\) 表示出了 \(f[n]\)，然而我們並不知道 \(g[n]\)，反而知道 \(f[n]\)，我們就需要一些騷操作（繁衍呸，反演），來求出 \(g[n]\) 。
說一句廢話：
\[g[n] = \sum_^[n=m]\times \binom\times g[m]
\]改一下這個廢話：
\[g[n] = \sum_^[n-m=0]\times \binom\times g[m]
\]哦！！！中間那個條件，我們是不是可以用一下那個小鑰匙？
\[g[n] = \sum_^ \sum_^(-1)^k\times \binom\times \binom\times g[m]
\]看一看中間那兩個噁心的組合數：
可以考慮為從 \(n\) 個物品裡，先選 \(m\) 個，再從 \(n-m\) 個裡選 \(k\) 個的方案數。
可以變為為從 \(n\) 個物品裡，先選 \(k\) 個，再從 \(n-k\) 個裡選 \(m\) 個的方案數，組合數可以變為： \(\binom\times \binom\) 。
原式變為：
\[g[n] = \sum_^ \sum_^(-1)^k\times \binom\times \binom\times g[m]
\]交換一下：
\[g[n] = \sum_^ \sum_^(-1)^k\times \binom\times g[m] \times \binom
\]然後將 \(m\) 和 \(k\) 交換一下：
\[g[n] = \sum_^ \sum_^(-1)^k\times \binom\times g[m] \times \binom
\]再次交換：
\[g[n] = \sum_^ (-1)^k\times \binom \sum_^ \binom\times g[m]
\]誒！！後面那個東東就是 \(f[n - k]\)，可，我們成功了！！！
\[g[n] = \sum_^ (-1)^k\times \binom \times f[n-k]
\]\(emmmm\)，好醜，寫好看一點：
\[g[n] = \sum_^ (-1)^\times \binom \times f[k]
\]\[f[n]=\sum_^\times \binom\times g[k]
\]\[g[n] = \sum_^ (-1)^\times \binom \times f[k]
\]這個好像就是二項式反演
可能與 \(a\) 層的巨佬們學的有點不同，有錯誤，請見諒我這個蒟蒻。
小盆友學英語，他拿到 \(26\) 個小寫字母，他拼出若干個長度為 \(n\) 的字串，求出有多少個字串的迴圈節恰好為 \(n\)，\(n\leq 10^9\) 。
連小盆友都知道迴圈節是啥，不用我說吧....（最短的乙個子串複製若干遍後拼起來跟原串相等的字串）。
定義 \(f[n]\) 表示長度為 \(n\) 的字串的個數，顯然是 \(26^n\) 。
定義 \(g[n]\) 表示長度為 \(n\) 且迴圈節長度為 \(n\) 的字串的個數。
可以得出：
\[f[n] = \sum_g[d]
\]上次我們用了乙個條件表示式，開啟了反演的關鍵，這個我們同樣搞乙個：
定義乙個 \(\mu[n]\) 滿足：（莫某某某搞的）
\[\sum_\mu[d] = [n=1]
\]其實這個就是莫比烏斯函式，至於性質，可以看一眼龍蝶的。
同樣，我們說一句廢話：
\[g[n] = \sum_[n=m]\times g[m]
\]將條件表示式變一下：
\[g[n] = \sum_[\frac=1]\times g[m]
\]好，用我們的小鑰匙：
\[g[n] = \sum_\sum_}\times \mu[d] \times g[m]
\]上次我們將 \(m\) 和 \(k\) 進行了交換，這次怎麼處理呢？
我們會發現 \(n\) 能將 \(m\) 整除，\(\frac\) 能將 \(d\) 整除，所以我們可以得出 \(n\) 既能將 \(m\) 整除，又能將 \(d\) 整除，這樣我們就可以將 \(m\) 和 \(k\) 交換了。
\[g[n] = \sum_\sum_}\times \mu[d] \times g[m]
\]交換一下：
\[g[n] = \sum_ \times \mu[d]\sum_} \times g[m]
\]不錯，後面那個東東又可以化為我們的 \(f\)，可
\[g[n] = \sum_ \times \mu[d]\times f[\frac]
\]\[f[n] = \sum_g[d]
\]\[g[n] = \sum_ \times \mu[d]\times f[\frac]
\]這個好像就是莫比烏斯反演
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