給定\(n,r,k,p\)
\(1 \leq n \leq 10^9\)
\(0 \leq r,k \leq 50\)
\(2 \leq p \leq 2^+1\)
求\[\left(\sum_^\infty ^}\right) \ mod \ p \]即
\[(c_^+c_^+c_^+...+c_^+c_^+...) \ mod \ p
\]根據\(c\)的另乙個遞推式：
\[c_^=c_^+c_^
\]我們做一些改變
令\(dp_\)表示取\(i\)個，取的個數模\(k\)餘\(j\)的方案總數
遞推式很類似：
\[dp_=dp_+dp_
\]這個式子就可以矩陣乘法加速
\[ \left[
\begin
1&0&0&0&\cdots&0&1 \\
1&1&0&0&\cdots&0&0 \\
0&1&1&0&\cdots&0&0 \\
0&0&1&1&\cdots&0&0 \\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots \\
0&0&0&0&\cdots&1&1 \\
1&0&0&0&\cdots&0&1
\end
\right]
\left[
\begin
dp_ \\
dp_ \\
dp_ \\
dp_ \\
\vdots \\
dp_ \\
dp_\end
\right]
= \left[
\begin
dp_ \\
dp_ \\
dp_ \\
dp_ \\
\vdots \\
dp_ \\
dp_\end
\right]
\]答案即為\(dp_\)（在\(nk\)個元素中取的個數模\(k\)餘\(r\)的方案總和）
複雜度\(o(k^3lognk)\)
要注意一下，\(k=1\)的時候矩陣長這樣：
\[ \left[
\begin
2 \end
\right]
\]
#include#include#includelong long n,p,k,r;
struct matrix
};matrix operator * (matrix &a,matrix &b)
int main()
s=fast_pow(s,n*k);
printf("%d",s.m[r][0]);
}
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這道題可以根據組合數的實際意義來理解，就是從n k個物品中選擇除k餘r個物品的方案數，那麼就可以得到用f i j 表示在前i個物品中，選擇j個物品的方案數，其中j是對k取模後的結果，那麼f i j f i 1 j 在第i為不取 f i 1 j 1 k k 在第i為取 可以發現，第i位只與i 1位有關...
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題目顯得一臉不可做。一般的來說，讀題是不會看前面一些沒有什麼太大意義的話的。確實也如此，譬如題面首句 組合數cm n 表示的是從n個互不相同的物品中選出m個的方案數 想來大家也是知道的 再觀察前面的式子 可以表示成如下形式 q modk rcq n k 回顧題面首句 代入？可以得到講人話的題面，大致...