概率論筆記

注：本文用+表示並運算，*表示交運算，a'表示a的逆事件

乙個試驗中所有可能情況組成的集合

事件的關係與運算

a包含於b：a發生=>b發生

a並b/a與b的和事件：a或b發生

a交b/a與b的積事件：ab同時發生

a-b/a與b的差事件：a發生b不發生

a b互斥/不相容：a交b=空集

a b互為逆事件/對立事件：和事件為s的不相容事件

運算律：

交換律：a+b=b+a

結合律：a+(b+c) =(a+b) +c；a*(b*c) =(a*b) *c

分配律：a+(b*c) =(a+b) *(a+c) ；a*(b+c) =a*b+a*c

德摩根律：(a+b)'=a'*b'；(a*b)'=a'+b'

頻率與概率

n次試驗中事件a發生的次數a稱為a發生的頻數，a/n稱為a發生的頻率，記為fn (a) 

n->∞時fn(a) =p(a) ，稱為a的概率

概率的定義/性質非負性：p(a) >=0

規範性：p(s) =1

可列可加性：若a[i]兩兩互斥，則p(a[1]+a[2]+…) =p(a[1])+p(a[2])+…

p(空集) =0

有限可加性：略

若a包含於b則p(b-a) =p(b) -p(a), p(b) >=p(a) 

p(a) <=1

p(a') =1-p(a) 

加法原理p(a+b) =p(a) +p(b) -p(a*b)

加法原理推廣（容斥原理）

古典概型（試驗的樣本空間中只包含有限(n個)元素；每個基本事件發生概率相同）

p(基本事件) =1/n

p(a)=k/n =a包含的基本事件數/s包含的基本事件數

有a個白球b個紅球 k個人依次取球，分別在放回抽樣和不放回抽樣的條件下求第i個人摸到白球的概率

n個物品中有d個次品，任取n件恰有k件次品的概率

通過3可以發現兩種情況下的概率相同且與i無關

p=c(d, k) *c(n-d, n-k) /c(n, n)        該公式被稱為 超幾何分布    讀者自證不難

實際推斷原理：概率很小的事件在一次試驗中實際上幾乎是不發生的（廢話

p(b|a) =p(ab) /p(a) 

乘法原理 p(ab) =p(b|a) p(a)

乘法原理推廣：略

全概率公式&貝葉斯公式

樣本空間的劃分

任意i j，b[i]*b[j]=空集

b[1]+b[2]+…+b[n]=s

則b[1...n]稱為s的乙個劃分

概率論筆記（2）

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