資料結構 線段樹

摘自《演算法競賽高階指南》。

線段樹的基本特徵：

1.線段樹的每個節點都代表乙個區間。

2.線段樹具有唯一的根節點，代表的區間是整個統計範圍，如[1,n]。

3.線段樹的每個葉節點都代表乙個長度為1的元區間[x,x]。

4.對於每個內部節點[l,r]，它的左子節點是[l,mid]，右子節點是[mid+1,r]，其中mid=(l+r)/2（向下取整）。

線段樹的節點編號方法：「父子二倍」節點編號法

1.根節點編號為1。

2.編號為x的節點的左子節點的編號為x*2，右子節點編號為x*2+1。

注意：儲存線段樹的陣列長度要不小於4n才能保證不會越界。（n為葉節點數）

struct

segmentreet[n*4];//
struct陣列儲存線段樹 
void build(int p,int l,int
r)//
葉節點 
int mid=(l+r)/2;//
折半 build(p*2,l,mid);//
左子節點[l,mid],編號p*2 
build(p*2+1,mid+1,r);//
右子節點[mid+1,r],編號p*2+1
t[p].dat=max(t[p*2].dat,t[p*2+1].dat);//
從下往上傳遞資訊 
} build(
1,1,n);//
呼叫入口

void change(int p,int x,int

v)//
找到葉子結點 
int mid=(t[p].l+t[p].r)/2
; 
if(x<=mid)change(p*2,x,v);//
x屬於左半區間 
else change(p*2+1,x,v);//
x屬於右半區間 
t[p].dat=max(t[p*2].dat,t[p*2+1].dat);//
從下往上更新資訊 
} change(
1,x,v);//
呼叫入口

從根節點開始，遞迴執行以下過程：

1.若[l,r]完全覆蓋了當前節點代表的區間，則立即回溯，並且該節點的dat值為候選答案。

2.若左子節點與[l,r]有重疊部分，則遞迴訪問左子節點。

3.若右子節點與[l,r]有重疊部分，則遞迴訪問右子節點。

int ask(int p,int l,int

r) cout
<1,l,r)呼叫入口

【例題1】：你能回答這些問題嗎

【例題2】：區間最大公約數

我們在修改指令時，可以在l≤pl≤pl≤r的情況下立即返回，只不過在回溯之前向節點p增加標記，標識「該節點曾經被修改，但其子節點尚未被更新」。

在後續的指令中，需要從節點p向下遞迴，我們再檢查p是否具有標記。若有標記，就根據標記資訊更新p的兩個子節點，同時為p的兩個子節點增加標記，然後清除p的標記。

這樣一來，每條修改的指令的時間複雜度從o(n)降到了o(log n)。

【例題】：乙個簡單的整數問題

主要**如下：

#define 100000+10

struct
n segmenttreetree[n*4
];int
a[n],n,m;
void build(int p,int l,int
r) 
int mid=(l+r)/2
; build(p*2
,l,mid);
build(p*2+1,mid+1
,r);
sum(p)=sum(p*2)+sum(p*2+1
);} 
void spread(intp)}
void change(int p,int l,int r,int
d) spread(p);
//下傳延遲標記 
int mid=(l(p)+r(p))/2
; 
if(l<=mid)change(p*2
,l,r,d);
if(r>mid)change(p*2+1
,l,r,d);
sum(p)=sum(p*2)+sum(p*2+1);}
long
long ask(int p,int l,int
r)int
main()
else cout<1
,l,r);
}}

【例題1】：亞特蘭蒂斯

【例題2】：窗內的星星

資料結構 線段樹

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