資料結構之線段樹

線段樹是一種二叉查詢樹，它將乙個區間劃分為1個個單元，樹的每個節點都是1個單元。如下圖的樹就是一顆區間樹。

性質

對於線段樹中的每乙個非葉子節點[a, b]，它的左節點為[a, (a+b)/2]，右節點為[(a+b)/2+1, b]。

線段數是平衡二叉樹，子節點的個數等於整個區間的長度。

建樹

在這裡，我們使用陣列來實現簡單的線段樹，樹的結構如下。

public
class
segmenttree
}

public inte***ce merger

如下圖所示。merge介面可以求和、求最大/最小值等。

在上述的**中，tree的陣列容量我們取節點個數的4倍。為什麼這樣做呢？假如區間有n個元素，用陣列表示需要多少個節點？為方便說明，我們取節點個數為2^3，即n=8。我們看下構成的線段樹。

在這種情況下構成的滿二叉樹中，最後一層的節點個數等於n。最後一層的節點個數等於其餘幾層的節點總數+1。也就是說大約需要2 * 8個陣列容量才能儲存整棵樹。但是在最壞的情況下，節點總數n等於2的m次冪加1。以n=9為例，這棵樹的層數還要加1。所以我們一般直接取4n作為線段樹的陣列容量。如果還不懂的話，建議自己畫顆線段樹。

/**
* 構成treeidx處，表示區間[left,right]的線段樹
** @param treeidx 陣列下標
* @param left 區間左邊界
* @param right 區間右邊界
*/private
void
buildsegment
(int treeidx,
int left,
int right)
int leftchild =
getleftchild
(treeidx)
;int rightchild =
getrightchild
(treeidx)
;int mid = leftchild +
(right - left)/2
;buildsegment
(leftchild, left, mid)
;buildsegment
(rightchild, mid +
1, right)
; tree[treeidx]
= merger.
merge
(tree[leftchild]
, tree[rightchild]);
}/**
* 獲取左子孩子的陣列下標
** @param parent 父節點下標
* @return 左子節點下標
*/private
intgetleftchild
(int parent)
/** * 獲取右子孩子的陣列下標
** @param parent 父節點下標
* @return 右子節點下標
*/private
intgetrightchild
(int parent)

在這裡我們使用遞迴來構造線段樹，**很簡單。唯一要注意的是獲取左/右孩子節點的陣列下標。還是以剛才[1,8]的線段樹為例。我們看下tree這個陣列是怎麼儲存整個樹的。如下所示，父節點的小標為p，那麼左子節點的下標為2 * p + 1，右子節點的下標為 2 * p + 2。

區間查詢

區間查詢分為3種情況，如查詢區間[left,right]：

right <= mid：資料分布在左右子樹，在[left, mid]查詢[left,right]。

left > mid：資料分布在右子樹，[mid + 1, right]中查詢[left, right]。

left <= mid < right：資料分布在左右子樹，在[leftbound, mid]中查詢[left, mid]，在[mid+1, rightbound]查詢[mid+1, right]，再進行合併操作。leftbound和rightbound為整個區間的邊界值。

如在[1,8]的線段樹中，查詢[2,5]這個區間。我們來看下查詢的過程，黃色部分為區間查詢所走的路徑。紅色部分為查詢到的結果。

* 查詢區間[left, right]

** @param left 區間左邊界

* @param right 區間右邊界

* @return

*/public e query

(int left,

int right)

//從跟節點開始搜尋

return

query(0

,0, data.length -

1, left, right);}

/** * 在以treeidx為根節點的線段樹[leftbound, rightbound]中，搜尋[left, right]的值

** @param treeidx 根節點下標

* @param leftbound 線段樹的左邊界

* @param rightbound 線段樹的右邊界

* @param left 查詢的左邊界

* @param right 查詢的右邊界

* @return 搜尋出的值

*/private e query

(int treeidx,

int leftbound,

int rightbound,

int left,

int right)

int mid = leftbound +

(rightbound - leftbound)/2

;int leftchild =

getleftchild

(treeidx)

;int rightchild =

getrightchild

(treeidx);if

(right <= mid)

else

if(left > mid)

else

}單點更新更新與查詢類似，單點更新只需要更新某個葉子節點的值，但是更新葉子節點會對其父節點的值產生影響，因此更新子節點後，也同樣要更新父節點的值。

/**
* 更新
* @param elementidx 元素下標
* @param element 元素
* @return
*/public e set
(int elementidx, e element)
/** * 更新以treeidx為跟節點的線段樹的位置在elementidx的值
** @param treeidx 根節點下標
* @param leftbound 左區間
* @param rightbound 右區間
* @param elementidx 更新的元素的小標
* @param element 更新的元素
*/private
void
set(
int treeidx,
int leftbound,
int rightbound,
int elementidx, e element)
int mid = leftbound +
(rightbound - leftbound)/2
;int leftchild =
getleftchild
(treeidx)
;int rightchild =
getrightchild
(treeidx);if
(elementidx <= mid)
else
}

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