設 $(x,\mathscr)$ 是可測空間, $\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_n$ 是其上的有限正測度, 且無原子. 則
$$m:=\left\\right\}$$
是 $\mathbb^n$ 中的凸集.
命 $\mu=\mu_1+\mu_2+\cdots+\mu_n$, 則 $\mu_i\ll \mu, i=1,2,\cdots,n$. 記
$$w=\,\mu):0\leq g\leq 1\}.$$
定義\begin
\begin
t: &w\rightarrow \mathbb^n\\
&g\longmapsto \left(\int_x gd\mu_1,\int_x gd\mu_2,\cdots,\int_x gd\mu_n\right)^t.
\end
\end
由alaoglu定理, $l^\infty(x,\mathscr,\mu)$ 的單位球是弱 $^*$ 緊的, 下面證明 $w$ 是弱 $^*$ 閉的. 事實上, 若 $(g_i)$ 弱 $^*$ 收斂到 $g$, 即對任何 $f\in l^1(x,\mathscr,\mu)$, 有
$$\int_x fg_id\mu\rightarrow \int_x fgd\mu.$$
取 $f=1__n}$, 其中
$$e_n=\left\\right\}.$$
則有$$\int_ g_id\mu\rightarrow \int_ gd\mu.$$
而$$\int_ g_id\mu\leq \mu(e_n),$$
所以$$\int_ gd\mu\leq \mu(e_n).$$
另一方面,
$$\int_ gd\mu\geq \left(1+\frac\right)\mu(e_n).$$
所以有$$\mu(e_n)=0.$$
由此可知,
$$g\leq 1,\quad \mathrm$$
同理可證,
$$g\geq 0,\quad \mathrm$$
所以 $g\in w$, 即 $w$ 在 $l^\infty(x,\mathscr,\mu)$ 中是弱 $^*$ 閉的, 從而是弱 $^*$ 緊的.
下證~$t$~是弱~$^*$~連續的. 事實上, 若~$(g_i)$~弱~$^*$~收斂到~$g$, 取
$$f_j=\frac\in l^1(x,\mathscr,\mu),\quad j=1,2,\cdots,n,$$
則$$\lim_i\int_x g_id\mu_j=\lim_i\int_xf_jg_id\mu= \int_xf_jgd\mu=\int_x gd\mu_j.$$
即~$tg_i\rightarrow tg$, 所以~$t$~是弱~$^*$~連續的.
設~$(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)^t\in t(w)$, 我們證明存在~$a\in \mathscr$~ 使得
$$t(1_a)=(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)^t.$$
事實上, 命~$w_0=t^(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)^t$, 因為~$t$~是弱~$^*$~連續的, 所以~$w_0$~弱~$^*$~閉, 從而弱~$^*$~緊, 且是凸集. 又~$w_0\neq\varnothing$, 由krein-milman定理, 存在~$g\in \mathrm~w_0$. 下證~$g$~為特徵函式. 若否, 則存在~$\varepsilon>0$~及~$e\in\mathscr$, $\mu(e)>0$~使得
$$\varepsilon\leq g(x)\leq 1-\varepsilon,\quad x\in e.$$
由於~$\mu_i$~無原子, 所以~$\mu$~無原子.~(僅證明~$n=2$, 若否, 則存在~$f\in\mathscr$~使得~$\mu(f)>0$~且~$e\subset f$~時, 要麼~$\mu(e)=0$, 要麼~$\mu(e)=\mu(f)$. 對於第一種情形, $\mu_1(e)=\mu_2(e)=0$, 可知~$\mu_1(f)=\mu_2(f)=0$)
所以存在~$e_1\subset e$~使得~$\mu (e_1)>0$, $\mu(e\backslash e_1)>0$, 一直下去, 存在互不相交的~$(e_i)_^$~滿足
$$e=\bigcup_^ e_i,\quad \mu(e_i)>0,~i=1,2,\cdots,n+1.$$
注意到\begin
\begin
\mu_1(e_1)\\
\mu_2(e_1)\\
\cdots\\
\mu_n(e_1)
\end,
\begin
\mu_1(e_2)\\
\mu_2(e_2)\\
\cdots\\
\mu_n(e_2)
\end,
\cdots,
\begin
\mu_1(e_)\\
\mu_2(e_)\\
\cdots\\
\mu_n(e_)
\end
\in\mathbb^n,
\end
從而線性相關, 設存在不全為~$0$~的係數~$a_1,a_2,\cdots,a_$~使得
\begin
a_1\begin
\mu_1(e_1)\\
\mu_2(e_1)\\
\cdots\\
\mu_n(e_1)
\end+
a_2\begin
\mu_1(e_2)\\
\mu_2(e_2)\\
\cdots\\
\mu_n(e_2)
\end+
\cdots+
a_\begin
\mu_1(e_)\\
\mu_2(e_)\\
\cdots\\
\mu_n(e_)
\end
=0.\end
我們可要求
$$\sum_^|a_i|<\varepsilon.$$
取$$h=\sum_^ a_i 1_.$$
則$$\int_x hd\mu_i=0,\quad i=1,2,\cdots,n+1.$$
注意到$$g\pm h\in w_0$$
且$$g=\frac\left(g+h+g-h\right),\quad h\neq 0,$$
這與~$g\in \mathrm~w_0$~矛盾, 所以~$g$~為示性函式, 從而~$m=t(w)$, 易知~$w$~凸,~$t$~線性, 所以~$m$~凸, 得證.
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