上回已經構造了實數系:
$$\mathbb=r/\sim.$$
下面在 $\mathbb$ 上定義一些運算使之構成乙個域. $\mathbb$ 中的元素由有理數基本列的等價類 $[(a_n)_]$ 構成, 為了記號的方便, 我們今後就用$(a_n)$ 來表示.
仿照有理數域, 我們希望定義加減乘除. 其中加法和減法比較好定義:
$$(a_n)+(b_n):=(a_n+b_n).$$
$$(a_n)-(b_n):=(a_n-b_n).$$
為了嚴謹起見, 需說明這樣的定義是合理的. 以加法為例, 首先容易知道 $(a_n+b_n)$ 一定是基本列, 這是因為
$$|(a_n+b_n)-(a_m+b_m)|\leq|a_n-a_m|+|b_n-b_m|,$$
而 $(a_n)$ 和 $(b_n)$ 分別是基本列, 從而 $(a_n+b_n)$ 也是基本列. 其次, 需要說明這樣的定義不依賴於代表元的選取, 即若 $(a_n)\sim (c_n)$, $(b_n)\sim (d_n)$, 則
$$(c_n+d_n)\sim (a_n+b_n).$$
為了定義乘法, 我們首先給乙個簡單的引理.
(引理1) 若 $(a_n)$ 是基本列, 則 $(a_n)$ 有界, 即存在有理數 $m>0$ 使得
$$|a_n|\leq m,\quad \forall~n\geq1.$$
證明. 對於 $\varepsilon=1$, 存在 $n$ 使得 $n\geq n$ 時,
$$|a_n-a_n|\leq1,\quad\forall~n\geq n.$$
取$$m=\max\|,|a_n|+1\}$$
即可.定義乘法:
$$(a_n)\cdot(b_n):=(a_n\cdot b_n).$$
同樣可以說明 $(a_nb_n)$ 是基本列, 那是因為
$$|a_mb_m-a_nb_n|\leq|a_m-a_n||b_m|+|b_m-b_n||a_n|\leq m(|a_m-a_n|+|b_m-b_n|).$$
在定義除法之前, 我們先在 $\mathbb$ 中定義序:
(定義1) 設 $(a_n),(b_n)\in\mathbb$. 如果存在有理數 $q$ 以及正整數 $n$ 使得當 $n\geq n$ 時
$$a_n>q>b_n.$$
則稱 $(a_n)$ 大於 $(b_n)$, 記作
$$(a_n)>(b_n).$$
(三歧性定理) 對於 $(a_n),(b_n)\in\mathbb$, 以下三者之一成立:
$$\mathrm\quad(a_n)>(b_n),$$
$$\mathrm\quad(a_n)<(b_n),$$
$$\mathrm\quad(a_n)=(b_n).$$
證明. 假設(1)和(2)不成立, 我們來證明(3). 事實上, 對任何 $q>0$, 因為 $(a_n-b_n)$ 是基本列, 所以存在 $n$ 使得 $m,n\geq n$ 時,
$$|(a_n-b_n)-(a_m-b_m)|<\frac.$$
因為(1)和(2)不成立, 故一定存在 $k\geq n$ 及 $l\geq n$ 使得
$$a_k-b_k<\frac,\quad a_l-b_l>-\frac.$$
所以當 $n\geq\max\$ 時,
$$-q所以
$$(a_n)=(b_n).$$
下面來定義除法. 設 $(b_n)\neq(0)$, 此時可假設存在 $q>0$ 使得
$$|b_n|\geq q>0.$$
定義$$\frac:=\left(\frac\right).$$
容易說明 $\left(a_n/b_n\right)$ 是乙個基本列, 那是因為
$$\left|\frac-\frac\right|\leq\frac\leq\frac(|a_n-a_m|+|b_n-b_m|).$$
可以得到如下定理:
(定理2) $\mathbb$ 是乙個有序域.
容易知道, $\mathbb$ 也是乙個有序域, 怎樣把它看成 $\mathbb$ 的子域呢? 這裡就要用到同構的概念, 簡單來說, 有序域的同構就是乙個保持運算和序的雙射.
(定義2) 設 $e$ 和 $f$ 是有序域, 且存在雙射 $\varphi:e\rightarrow f$ 滿足
$$\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b),$$
$$\varphi(a\cdot b)=\varphi(a)\cdot\varphi(b),$$
$$a則稱 $\varphi$ 是同構對映. 此時也稱 $e$ 和 $f$ 是同構的.
所謂同構無非就是 $e$ 上的運算或者比較大小等價於 $f$ 上的運算或者比較大小, 從而可以認為 $e$ 和 $f$ 本質上是乙個東西.
(定理3) $\mathbb$ 是 $\mathbb$ 的子域, 且同構對映可以這樣定義:
$$\varphi(q)=[(q)_].$$
由上述定理, $\mathbb$ 僅僅是 $\mathbb$ 中恆取乙個值的基本列等價類的全體, 從這個意義上講, $\mathbb$ 比 $\mathbb$ "大". $\mathbb$ 是有理數的擴充版本, 以後我們就記某個 $r\in\mathbb$, 認為 $r$ 也是乙個數, 稱為實數 (實際上是有理數基本列的等價類, 乙個等價類就稱為乙個數). 第一回說到有理數不足以描述單位正方形的對角線, 那麼實數是否就可以刻畫單位正方形的對角線? 另外實數又有哪些好的性質呢? 且聽下回分解.
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