第一回從有理數說起

數學中的數, 就像物理中的時間一樣, 人人都知道, 唯獨專家們不這樣理解它.------zorich

"數學數學", 從字面上理解就是研究"數"的學問. 大多數人對自然數和整數有了一定的認識, 但對有理數和無理數僅僅有一些模糊的認識. 所以第一回就從有理數說起.

人類認識數的過程可以看出文明發展的過程. 原始人類進行打獵, 需要把打獵獲得的食物進行計數, 如果是 $1$, 就在繩子上打乙個結, 如果是 $2$, 就在繩子上打兩個結, 久而久之就形成了正整數的概念: $1,2,\cdots$.

進一步, 為了交易的方便引入了零和負數. 比如說, 我欠你 $3$ 頭牛, 那麼我擁有牛的數目就是 $-3$, 等哪天我打獵得到了 $3$ 頭牛, 把債還清, 則我擁有牛的數目就是 $0$.

這樣, 在人類歷史的發展過程中, 很自然地用到了自然數和整數的概念. 下面給它們下乙個正式的定義.

(定義1) $0,1,2,3,\cdots$ 的全體稱為自然數, 記為 $\mathbb$. $0,\pm1,\pm2,\pm3,\cdots$ 的全體稱為整數, 記為 $\mathbb$.

自然數有乙個很好的性質, 稱為良序性:

(定理1) 設 $a$ 是自然數集合 $\mathbb$ 的乙個子集, 則 $a$ 中一定有最小數.

證.取 $m\in a$, 則 $\\cap a$ 中一定有最小數, 它就是 $a$ 中最小數.

但是隨著合作打獵方式的產生, 乙個問題又出現了. 比如五個人去打獵, 得到一頭牛, 那麼每個人應該分得多少? 這個問題用方程去描述就是找乙個數 $x$ 滿足

$$5x=1.$$

首先這樣的數一定不是整數, 不然會得出 $5$ 整除 $1$ 這樣的矛盾. 所以我們自然想擴充數的範圍, 使得上面的整數方程有解. 那麼如何來解上面的方程呢? 假設一頭牛能換五隻雞, 即

$$\text=\text+\text+\text+\text+\text.$$

那麼每個人所捕獲的獵物相當於乙隻雞, 這裡雞是比牛更小的計量單位. 受此啟發, 我們構造這樣的計量單位 $1/n$, 它滿足

$$1=\underbrace+\cdots+\frac}_.$$

此外, 我們記

$$\frac=\underbrace+\cdots+\frac}_.$$

(定義2) 形如 $m/n$ 的數全體稱為有理數, 記為 $\mathbb$, 其中 $m,n$ 是整數, $n\neq0$.

這樣, 在有理數範圍內, 如下的整數方程都有解.

$$nx=m,\quad n\neq0.$$

(定理2) 設 $q,s$ 是有理數, 則 $(q,s)$ 中存在有理數.

證.取 $r=(q+s)/2$ 即可.

由定理2容易知道 $(1,2)$ 中沒有最小元素, 所以有理數集 $\mathbb$ 沒有良序性.

有理數全體對於加法和除法運算封閉, 它構成乙個域, 所以有理數集合通常又叫做有理數域.

古希臘時期, 人們曾一度認為自然界的所有規律都可以用有理數去描述. 當時, 畢達哥拉斯已經發現了勾股定理並殺了一百頭牛進行慶祝. 由勾股定理, 單位正方形的對角線長 $l$ 滿足

$$l^2=1^2+1^2=2.$$

乙個自然的問題是是否存在有理數 $l$ 滿足上式. 如果存在, $l$ 到底又是哪兩個正整數的比?

要回答這個問題, 我們假設存在互質的正整數 $p,q$ 使得

$$\frac=2\rightarrow p^2=2q^2.$$

所以 $p$ 一定是偶數, 假設 $p=2t$, 則

$$4t^2=2q^2\rightarrow2t^2=q^2.$$

所以 $q$ 一定是偶數, 這就和 $p,q$ 互質矛盾. 這種方法又叫無窮遞降法, 主要利用了自然數的良序性. 所以並不存在有理數 $l$ 滿足 $l^2=2$. 所以有理數並不足以描述自然界的規律, 這是人類踏上尋找更廣型別數的乙個動機.

那麼, 到底如何擴充有理數以得到更廣型別的數呢? 且聽下回分解.

第一回 從有理數說起