看了曦行夜落-**二分的邊界問題後深有感觸，特此寫下此篇部落格以作梳理。
二分是一種求取極值的演算法，通常是已知所求答案的範圍，然後根據一系列約束條件對其進行控制使得到的答案最優。二分答案需要滿足單調性，舉個例子來看，我們要完求完成任務的最小代價（範圍為1到100），我們考慮中間值50：
如果以50的代價可以完成任務，那麼，我們以51~100的代價顯然也可以完成任務。
如果以50的代價不能完成任務，那麼，我們以0~50的代價就都不能完成任務。
正是因為這種單調性，才使得二分可以在log2n的時間內完成查詢工作。
我們接著考慮上面的例子，我們可以發現：
如果以50的代價可以完成任務，那麼，我們以51~100的代價顯然也可以完成任務。則，我們需要在0~50中去尋找更優的滿足條件的解。
如果以50的代價不能完成任務，那麼，我們以0~50的代價就都不能完成任務。則，我們只能通過去犧牲資料，在51~100中去需找滿足條件的解。
這就是二分的進行機制，由此，我們可以發現，二分中真正重要的地方是中間條件的取值。
二分的中間值是二分過程中最容易出鍋的地方， 對於是應該取mid + 1還是mid - 1又或是mid常常讓人混亂，這裡我們對其進行一定的梳理。
二分中的主要思想有以下三種：
l 和 r 所代表的」成本值」均可行（即當前討論的區間為[ l, r]），且存在乙個最優解ans。
l 和 r 所代表的「成本值」均可行,最後答案是 l 和 r。
l 和 r 所代表的「成本值」只有 l 可行而 r 不可行（即當前討論的區間是[l, r ) ），最終的答案是 l。
我們對前兩種演算法進行模板歸納：
思想1:儲存答案
for (;l<=r;)else l=mid+1;}
printf("%d
",ans);
結束條件是l > r 時停止迴圈，此時答案記錄為ans。（依舊以上面舉到的例子求大於條件的最小值）
對於每次迴圈中的mid，都把當前的區間分為了三部分[l , mid - 1] ， mid， [ mid + 1, r]，這三部分中，我們根據mid處的值將問題分為兩類。
當mid滿足條件的時候，我們就把mid當作是的當前的最優解，然後去考慮[l, mid - 1]中有沒有可以重新整理當前最優解的更優解。
當mid不滿足條件的時候，我們就考慮[mid + 1, r]中有沒有可以滿足條件的解。
求大於的最小值則正好相反。
思想2：不儲存答案
while (lprintf("%d
",l);
結束條件是 （l == r），此時l 和 r 相同且都是最優解。（依舊以上面的例子求大於條件的最小值）
對於每次迴圈中的mid，都把當前的區間分為了兩部分[l, mid], [mid + 1, r]，這兩部分中我們根據mid的值將問題分為兩類。
當mid滿足條件的時候，我們把mid看作是乙個可行解，根據二分的單調性我們可以知道[mid + 1, r]一定都滿足條件且沒有mid更優，所以我們可以得到更優的解一定是存在於[l, mid]中的。為什麼要包括mid呢？我們可以這樣來看，我們假設當mid就是滿足條件的最優解而且這個區間中數的個數不只乙個，如果我們只考慮[l, mid - 1]的話，就會因為漏解而使得最終答案錯誤。
當mid不滿足條件的時候，根據單調性[l, mid]一定都不能滿足條件，所以我們只需要在[mid + 1, r]中尋找滿足條件的解即可。
反過來，如果我們求的是小於條件的最大值時，對於每次迴圈中的mid, 都把當前區間分為了兩部分[l, mid - 1]，[mid, r]，兩部分。
二分查詢就是最經典的二分答案，我們對於乙個有序序列，記錄查詢值為key的數， 而對於乙個為key的數，我們既可以把他看作是滿足大於條件的最小值，也可以看作是滿足小於條件的最大值。
二分查詢演算法的理解
在做lis的o nlgn 演算法時，用到了二分查詢演算法。對於其中的一些條件，例如 l二分查詢因為有幾個限制，其中乙個便是 單調序列 這個要求，所以可能出現 2 3 4 4 4 5 6這樣的陣列，那麼返回第乙個出現的位置便是 i 3時。i0 1234 56a i 23 4445 6while lef...
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