勾股數又名畢氏三元數 凡是可以構成乙個直角三角形三邊的一組正整數，稱之為勾股數。
所謂勾股數，一般是指能夠構成直角三角形三條邊的三個正整數(a,b,c)。
即a2+b2=c2,a,b,c∈n
又由於，任何乙個勾股陣列(a,b,c)內的三個數同時乘以乙個整數n得到的新陣列(na,nb,nc)仍然是勾股數，所以一般我們想找的是a,b,c互質的勾股陣列。
關於這樣的陣列，比較常用也比較實用的套路有以下兩種：
當a為大於1的奇數2n+1時，b=2n^2+2n, c=2n^2+2n+1。
實際上就是把a的平方數拆成兩個連續自然數，例如：
n=1時(a,b,c)=(3,4,5)
n=2時(a,b,c)=(5,12,13)
n=3時(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
這是最經典的乙個套路，而且由於兩個連續自然數必然互質，所以用這個套路得到的勾股陣列全部都是互質的。
2、當a為大於4的偶數2n時，b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分別減1和加1，例如：
n=3時(a,b,c)=(6,8,10)
n=4時(a,b,c)=(8,15,17)
n=5時(a,b,c)=(10,24,26)
n=6時(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
這是次經典的套路，當n為奇數時由於(a,b,c)是三個偶數，所以該勾股陣列必然不是互質的；而n為偶數時由於b、c是兩個連續奇數必然互質，所以該勾股陣列互質。
所以如果你只想得到互質的陣列，這條可以改成，對於a=4n (n>=2), b=4n2-1, c=4n2+1，例如：
n=2時(a,b,c)=(8,15,17)
n=3時(a,b,c)=(12,35,37)
n=4時(a,b,c)=(16,63,65)
... ...
a=2mn
b=m^2-n^2
c=m^2+n^2
證：假設a^2+b^2=c^2，這裡研究(a,b)=1的情況（如果不等於1則(a,b)|c，兩邊除以(a,b)即可）
如果a,b均奇數，則a^2 + b^2 = 2(mod 4)（奇數mod4餘1），而2不是模4的二次剩餘，矛盾，所以必定存在乙個偶數。不妨設a=2k
等式化為4k^2 = (c+b)(c-b)
顯然b,c同奇偶（否則右邊等於奇數矛盾）
作代換：m=(c+b)/2, n=(c-b)/2，顯然m，n為正整數
現在往證：(m,n)=1
如果存在質數p，使得p|m,p|n, 那麼p|m+n(=c), p|m-n(=b), 從而p|c, p|b, 從而p|a，這與(a,b)=1矛盾
所以(m,n)=1得證。
依照算術基本定理，k^2 = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * ...，其中a1,a2...均為偶數，p1,p2,p3...均為質數
如果對於某個pi，m的pi因子個數為奇數個，那n對應的pi因子必為奇數個（否則加起來不為偶數），從而pi|m, pi|n，(m,n)=pi>1與剛才的證明矛盾 所以對於所有質因子,pi^2|m, pi^2|n，即m，n都是平方數。
設m = m^2, n = n^2
從而有c+b = 2m^2, c-b = 2n^2，解得c=m^2+n^2, b=m^2-n^2, 從而a=2mn
目前，關於勾股數的公式還是有侷限的。勾股數公式可以得到所有的基本勾股數，但是不可能得到所有的派生勾股數。比如3，4，5；6，8，10；9，12，15...，就不能全部有公式計算出來。
a=m，b=(m^2 / k - k) / 2，c=(m^2 / k + k) / 2 ①
其中m ≥3
⒈ 當m確定為任意乙個 ≥3的奇數時，k=
⒉ 當m確定為任意乙個 ≥4的偶數時，k=
基本勾股數與派生勾股數可以由完全一併求出。例如，當m確定為偶數432時，因為k== ，將m=432及24組不同k值分別代入b=(m^2 / k - k) / 2，c=(m^2 / k + k) / 2；即得直角邊a=432時，具有24組不同的另一直角邊b和斜邊c，基本勾股數與派生勾股數一併求出。而勾股數的組數也有公式能直接得到。
算術基本定理：乙個大於1的正整數n，如果它的標準分解式為n=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，那麼它的正因數個數為n=(m1+1)×(m2+1)×……×(mr+1)；依據定理，易得以下結論
當a給定時，不同勾股陣列a，b，c的組數n等於①式中k的可取值個數
⒈ 取奇數a=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，其中k=，則k的可取值個數：
n=[(2m1+1)×(2m2+1)×……×(2mr+1)－1]/2
⒉ 取偶數a=2^m0×p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，其中k=，則k的可取值個數：
n=[(2m0－1)×(2m1+1)×(2m2+1)×……×(2mr+1)－1]/2
其中，p1，p2，……，pr為互不相同的奇素數，m0，m1，……，mr為冪指數。
3，4，5 ： 勾三股四弦五
5，12，13 ： 5·12記一生（13）
6，8，10： 連續的偶數
8，15，17 ： 八月十五在一起（17）
連續的勾股數只有3，4，5
連續的偶數勾股數只有6，8，10
3 4 5；5 12 13； 6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20；12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；16 30 34；16 63 65；18 24 30；18 80 82
20 21 29；20 48 52；21 28 35；21 72 75；24 32 40；24 45 51；24 70 74；25 60 65；27 36 45；28 45 53；30 40 50；30 72 78；32 60 68；33 44 55；33 56 65；35 84 91；36 48 60；36 77 85；39 52 65；39 80 89；40 42 58；40 75 85 ；40 96 104
42 56 70 ； 45 60 75 ； 48 55 73 ； 48 64 80 ； 48 90 102 ； 51 68 85 ；
54 72 90 ； 56 90 106 ； 57 76 95 ； 60 63 87 ； 60 80 100 ；
60 91 109 ； 63 84 105 ； 65 72 97 ； 66 88 110 ； 69 92 115 ；
72 96 120 ； 75 100 125 ； 80 84 116 ；
勾股數問題
一.問題描述 如果直角三角形三條邊長均為整數,這三個整數組成的陣列就稱為勾股陣列,對於勾股陣列 a,b,c 根據定理有關係式 a 2 b 2 c 2 問題 有一種勾股陣列 a,b,c 使得b a 1.例如 3 2 4 2 5 2 用程式找出指定範圍 1二.分析 1.遍歷求解 這類演算法最簡單,也最耗...
勾股數問題
一.問題描述 如果直角三角形三條邊長均為整數,這三個整數組成的陣列就稱為勾股陣列,對於勾股陣列 a,b,c 根據定理有關係式 a 2 b 2 c 2 問題 有一種勾股陣列 a,b,c 使得b a 1.例如 3 2 4 2 5 2 用程式找出指定範圍 1二.分析 1.遍歷求解 這類演算法最簡單,也最耗...
勾股數定理
一 勾股數 形如 一類的數稱為勾股數 a,b,c為正整數 x 2 y 2 z 2 二 一些性質 1.直角三角形的兩條直角邊和斜邊滿足勾股數定理。2.a b c,a b3.當a為奇數時,a 2n 1,則 b 2n 2 2n a 1 2 2 a 1 c b 1 4.當a為偶數時，a 2n,則 b n 2...