思考難度：提高?
**難度：提高?
正解：矩陣快速冪
若令f[i]
[j]f
[i][
j]為第ii
次傳傳到第j
j個人的方案數，易知f[i
][j]
=f[i
−1][
j−1]
+f[i
−1][
j+1]
f[i]
[j]=
f[i−
1][j
−1]+
f[i−
1][j
+1]但是直接這樣遞推o(n
m)o(
nm)會t
letl
e，於是想到用矩陣來加速遞推。
可知初始矩陣中ans
[i][
i]=1
ans[
i][i
]=1，遞推矩陣中a[0
][n−
1]=a
[n−1
][0]
=1a[
0][n
−1]=
a[n−
1][0
]=1a
[i][
i+1]
=a[i
][i−
1]=1
a[i]
[i+1
]=a[
i][i
−1]=
1。進行快速冪即可，時間複雜度o(n
3×lo
g m)o(
n3×l
ogm)
，時間、空間都不允許。
但是，我們通過觀察發現，無論何時，矩陣都是迴圈的，即a=
(a1a
2a3⋯
anan
a1a2
⋯an−
1an−
1ana
1⋯an
−2⋮⋮
⋮⋮a2
a3a4
⋯a1)
a=⎝⎜
⎜⎜⎜⎜
⎛a1
an
an−1
⋮a2
a2
a1
an⋮
a3
a3a
2a1
⋮a4
⋯⋯
⋯⋯a
nan
−1a
n−2
⋮a1
⎠⎟⎟
⎟⎟⎟⎞
我們利用此性質。乘出矩陣的一行來，直接將其他的複製好，時間複雜度o(n
2×lo
g m)o(
n2×l
ogm)
，時間複雜度符合要求，但空間超了。
於是我們將矩陣縮為一維，利用迴圈的性質來求值即可，空間複雜度將為o(n
)o(n
)，理論上可以通過本題，但還是tle。(18.19點2500ms+)
再來觀察矩陣，發現第一行是a1
a2 a
3 ⋯ a⌊n
+12⌋
−1a⌊n
+12⌋
a⌊n+12⌋
−1⋯ a
3 a2a
1a2
a3
⋯a⌊2
n+1
⌋−1
a⌊2n
+1⌋
a⌊2
n+1
⌋−1
⋯a3
a2(偶數自行腦補)
即對稱，所以可以優化一半常數。
但還是tle。。。(18.19點1500ms+)
我們繼續優化，發現矩陣相乘時，若有0，直接跳過，又優化了一點。(18.19點950~1100ms)
考慮觀察一行，發現計算每乙個的時候有重複計算的，我們發現可以用左面對稱和右面對稱來計算，還要考慮n為奇數偶數情況，及i為奇數偶數情況，可優化一半常數(理論上)。
於是就可以700ms通過本題了。(無o
2 o3o
2o3
)
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