資料結構之並查集

1、概述

並查集（disjoint set或者union-find set）是一種樹型的資料結構，常用於處理一些不相交集合（disjoint sets）的合併及查詢問題。

2、基本操作

並查集是一種非常簡單的資料結構，它主要涉及兩個基本操作，分別為：

a．合併兩個不相交集合

b．判斷兩個元素是否屬於同乙個集合

（1）合併兩個不相交集合（union(x,y)）

合併操作很簡單：先設定乙個陣列father[x]，表示x的「父親」的編號。那麼，合併兩個不相交集合的方法就是，找到其中乙個集合最父親的父親（也就是最久遠的祖先），將另外乙個集合的最久遠的祖先的父親指向它。

上圖為兩個不相交集合，b圖為合併後father(b):=father(g)

（2）判斷兩個元素是否屬於同一集合（find_set(x)）

本操作可轉換為尋找兩個元素的最久遠祖先是否相同。可以採用遞迴實現。

3、優化

（1） find_set(x)時，路徑壓縮

尋找祖先時，我們一般採用遞迴查詢，但是當元素很多亦或是整棵樹變為一條鏈時，每次find_set(x)都是o(n)的複雜度。為了避免這種情況，我們需對路徑進行壓縮，即當我們經過」遞推」找到祖先節點後，」回溯」的時候順便將它的子孫節點都直接指向祖先，這樣以後再次find_set(x)時複雜度就變成o(1)了，如下圖所示。可見，路徑壓縮方便了以後的查詢。

（2） union(x,y)時，按秩合併

即合併的時候將元素少的集合合併到元素多的集合中，這樣合併之後樹的高度會相對較小。

4 程式設計實現

int father[max];   /*
father[x]表示x的父節點
*/int rank[max]; /*
rank[x]表示x的秩
*/void make_set(int
x) /*
查詢x元素所在的集合,回溯時壓縮路徑
*/int find_set(int
x) return
father[x]; 
} /*
按秩合併x,y所在的集合 
下面的那個if else結構不是絕對的，具體根據情況變化
但是，宗旨是不變的即，按秩合併，實時更新秩。
*/void union(int x, inty) 
else
father[x] =y;
} }

5、複雜度分析空間複雜度為o(n)，建立乙個集合的時間複雜度為o(1)，n次合併m查詢的時間複雜度為o(m alpha(n))，這裡alpha是ackerman函式的某個反函式，在很大的範圍內（人類目前觀測到的宇宙範圍估算有10的80次方個原子，這小於前面所說的範圍）這個函式的值可以看成是不大於4的，所以並查集的操作可以看作是線性的。具體複雜度分析過程見參考資料（3）。

6、應用

並查集常作為另一種複雜的資料結構或者演算法的儲存結構。常見的應用有：求無向圖的連通分量個數，最近公共祖先（lca），帶限制的作業排序，實現kruskar演算法求最小生成樹等。

7、參考資料

（1）並查集：

（2）博文《並查集詳解》：

（3）thomas h. cormen, charles e. leiserson, ronald l. rivest, and clifford stein. introduction to algorithms, second edition. mit press and mcgraw-hill, 2001. isbn 0-262-03293-7. chapter 21: data structures for disjoint sets, pp. 498–524.

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