錯排公式詳解

在hdu刷題時遇到了關於錯排公式的一些問題。本篇文章將詳細解釋錯排公式的推導過程。

錯排的定義：一段序列中一共有n個元素，那麼可知這些元素一共有n!種排列方法。假如在進行排列時，原來所有的元素都不在原來的位置，那麼稱這個排列為錯排。而錯排數所指的就是在一段有n個元素的序列中，有多少種排列方式是錯排。

遞迴關係：d(n)=(n-1)(d(n-1)+d(n-2)) 特別地有d(1)=0,d(2)=1；

錯排公式：d(n)=(n!)[(-1)^0/0!+(-1)^1/(1!)+(-1)^2/(2!)+(-1)^3/(3!)+......+(-1)^n/(n!)]；其中n!=n*(n-1)*(n-2)*......3*2*1 特別地有0!=1 1!=1

首先來對遞迴公式進行解釋：

n個不同的元素的乙個錯排公式可以分作兩步完成：

第一步：假設我們錯排第乙個元素，那麼它可以從2~n的位置任意選擇其中的乙個，一共是有n-1種選擇。

第二步：錯排其餘n-1個元素，也是需要分情況和種類的。因為這需要看第一步的結果，如果第乙個元素落在第k個位置上，第二步就需要把k號元素進行錯排，k號元素錯排位置的不同將導致不同的情況會發生：

1.假設k號元素正好落在了第乙個元素的位置，那麼就可以將第乙個元素和第k個元素完全剔除出去，因為相當於只是他們兩者互換了位置，其他元素暫時還沒有發生變動。留下來的n-2元素進行錯排的話，那麼我們就可以得到了d(n-2)種的錯排方式。

2.若k號元素不排到第乙個元素的位置，我們可以暫時將現在排在k號位置的第乙個元素剔除出去，生下來的就只包含k號元素和原來n-2個的元素了。這時，我們可以將原來的第乙個元素的位置看做是現在k號元素的原本位置，因為k號元素不能夠放在原來的位置上，所以就相當於是原來的n-2個元素和k共計n-1個元素進行完全的錯排。那麼一共就有d(n-1)種方法。第二種情況希望大家仔細理解！配一張圖便於理解

那麼，我們有根據加法原理，完成第二步有d(n-2)+d(n-1)種方法。

根據乘法原理得到d(n)=(n-1)(d(n-1)+d(n-2)) 。遞推關係解釋完畢。

下面我們來推一下錯排公式

前提假設d(n)=n!n(n) 那麼我們根據上面的遞推公式可以得到n!n(n)=(n-1)[(n-2)!n(n-2)+(n-1)!n(n-1)]，等式右邊合併一下，我們可以得到

n!n(n)=(n-1)!n(n-2)+(n-1)!n(n-1)同時消去(n-1)!可以得到nn(n)=n(n-2)+n(n-1)

所以就有兩邊同時減去nn(n-1)得到：nn(n)-nn(n-1)=(n-1)n(n-1)+n(n-2)-nn(n-1) 即有：n(n(n)-n(n-1))=-n(n-1)+n(n-2)

即為(n(n)-n(n-1))/(n(n-1)-n(n-2))=(-1)/n;

同理有(n(n-1)-n(n-2))/(n(n-2)-n(n-3))=(-1)/(n-1);

(n(n-2)-n(n-3))/(n(n-3)-n(n-4))=(-1)/(n-2);

......

(n(3)-n(2))/(n(2)-n(1))=(-1)/3;

一共我們得到了n-2個等式，我們可以讓左邊的等式相乘，右邊的等式相乘，因為相消，那麼我們可以得到的等式是

(n(n)-n(n-1))/(n(2)-n(1))=(-1)^(n-2)/[n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*......4*3] 等式1

又因為(-1)^(n-2)=(-1)^(n) 等式2並且n(2)=d(2)/2!=1/2 n(1)=d(1)/1!=0 所以有n(2)-n(1)=1/2 等式3 將這兩個等式2和3帶入到上面等式1中我們可以得到：

n(n)-n(n-1)=(-1)^n/[n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*......*4*3*2] 即為：n(n)-n(n-1)=(-1)^n/n!

所以有n(n)=(-1)^2/2!+...(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n! 又因為存在關係d(n)=n!n(n)

得到d(n)=n![(-1)^2/2!+...(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n! ] 得證

各位看官，推公式不易，且看且珍惜，thx。

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