字首和及簡單應用

通常，涉及連續子陣列問題的時候，我們使用字首和來解決。

我們令$p[i]=a[0]+a[1]+\ldots+a[i]$，那麼每個連續子陣列的和$\operatorname(i, j)$ 就可以寫成 $p[j]-p[i-1]$（其中 0 < i < j）的形式。

a、和為k的子陣列

給定乙個整數陣列和乙個整數 k，你需要找到該陣列中和為 k 的連續的子陣列的個數。

輸入:nums = [1,1,1], k = 2

輸出: 2 , [1,1] 與 [1,1] 為兩種不同的情況。

思考：「[j..i] 這個子陣列和為 $k$ 」這個條件我們可以轉化為$\operatorname[i]-\operatorname[j-1]==k$

所以我們考慮以 i 結尾的和為 k 的連續子陣列個數時只要統計有多少個字首和為 $\operatorname[i]-k$ 的 $\operatorname[j]$ 即可。我們建立雜湊表 $\operatorname$，以和為鍵，出現次數為對應的值，記錄 $\operatorname[i]$ 出現的次數，從左往右邊更新 $\operatorname$ 邊計算答案，那麼以 i 結尾的答案 $\operatorname[\operatorname[i]-k]$ 即可在 o(1) 時間內得到。最後的答案即為所有下標結尾的和為 k 的子陣列個數之和。

class
solution:
#暴力#def subarraysum(self, nums, k):
#res = 0
#if not nums:
#return res
#for i in range(0, len(nums)):
#s = 0
#path = 
#for j in range(i, len(nums)):
#s += nums[j]##
if s == k:
#res += 1
#return res
defsubarraysum(self, nums, k):
res =0
if len(nums) ==0:
return
res 
maps = 
pre_num =0
for i in
nums:
pre_num +=i
if maps.get(pre_num-k):
res += maps[pre_num-k]
ifmaps.get(pre_num):
maps[pre_num]+=1
else
: maps[pre_num] = 1
return res

view code

b、和可被k整除的陣列

給定乙個整數陣列a，返回其中元素之和可被k整除的（連續、非空）子陣列的數目。

示例：輸入：a = [4,5,0,-2,-3,1], k = 5

輸出：7

解釋：有 7 個子陣列滿足其元素之和可被 k = 5 整除：

[4, 5, 0, -2, -3, 1], [5], [5, 0], [5, 0, -2, -3], [0], [0, -2, -3], [-2, -3]

思考：判斷子陣列的和能否被 $k$ 點除就等價於判斷 $(p[j]-p[i-1]) \bmod k==0$, 根據同餘定理, 只要 $p[j] \bmod k==p[i-1] \bmod k$,就可以保證上面的等式成立。

因此我們可以考慮對陣列進行遍歷，在遍歷同時統計答案。當我們遍歷到第 i 個元素時，我們統計以 i 結尾的符合條件的子陣列個數。我們可以維護乙個以字首和模 k 的值為鍵，出現次數為值的雜湊表 $\operatorname$，在遍歷的同時進行更新。這樣在計算以 i 結尾的符合條件的子陣列個數時，根據上面的分析，答案即為 [0..i−1] 中字首和模 k 也為 $p[i] \bmod k$ 的位置個數，即 $\operatorname[p[i] \bmod k]$。

最後的答案即為以每乙個位置為數尾的符合條件的子陣列個數之和。需要注意的乙個邊界條件是，我們需要對雜湊表初始化，記錄 $\operatorname[0] = 1$，這樣就考慮了字首和本身被 k 整除的情況。

**：

class
solution:
def subarraysdivbyk(self, a: list[int], k: int) ->int:
record = 
total, ans =0, 0
for elem in
a: total +=elem
modulus = total %k
same =record.get(modulus, 0)
ans +=same
record[modulus] = same + 1
return ans

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