組合數計算

計算組合數的題目及其變體還是比較常見的，這裡記錄一下幾種經典解法。

我們以乙個典型問題為例進行討論： leetcode 62. unique paths，問的是 mxn 的矩陣從左上走到右下有幾種走法，每次只能向下走或者向右走。

第一種解法是dp，採用遞推公式 \(c(m, n)=c(m-1, n) + c(m-1, n-1)\)（即，楊輝三角）來計算。

很顯然，到達每乙個格仔的走法，是他的左邊和上邊鄰居的走法之和。這樣我們可以使用乙個二維陣列來對應記錄每乙個位置的走法數，空間開銷o(m*n)。進一步，由於我們是一行一行進行計算，我們可以把空間壓縮到o(min(m,n))。

/*
* * [62] unique paths
*/// @lc code=start
class solution 
}return dp[n];
} // ac, dp
};// @lc code=end

我們注意到，由於題目限制，實際上路徑總長是 m-1+n-1，需要從中選出 m-1 步向下。

第二種解法是直接使用組合數公式 \(c(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)\) 進行計算，但是這裡有乙個陷阱是整數溢位問題。

一種解決溢位的辦法是使用浮點數，甚至有人提出了使用對數降低計算複雜度的方案；但是這是乙個整數問題，我們想使用純整數來解決。

注意到計算公式的分子分母各自都是n個數的乘積，所需乘法次數相同。我們把兩遍的計算分為兩段，分別長為k和n-k，其中一段是完全相同的1*2*3*...可以直接消除，我們選擇消較長的一段。不妨設剩下的較短一段是長度為k的那一段，則 \(c(n, k) = (n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1)) / (1*2*3*...*k)\)。這裡的問題仍然是溢位如何解決，但是進展是分子分母都已經是單個自然數序列了。

我們可以在一輪迴圈中解決這個計算，即變形為 \(c(n, k) = n/1 * (n-1)/2 * (n-2)/3 * ... * (n-k+1)/k\)。也就是乘法和除法交叉計算，保證不會出現小數。

據這篇部落格所言，有數論中的定理可以保證這一點，但是部落格本身並沒有提供這個定理。

我們這裡簡單說明一下為什麼每次都能整除，不會出現小數。考慮數學歸納，對於第一次操作 n/1 肯定是能整除的；然後我們假設前面 k-1 次都整除了，考察第 k 次能不能整除。當然能整除，因為分母是連續的 k 個自然數，必然有乙個恰好是 k 的倍數，所以其乘積也能被 k 整除。（這裡我們的說明其實不夠充分，因為我們沒有證明，k的時候分母乘積中用到的因子沒有被前面k-1個數用掉。）

/*
* * [62] unique paths
*/// @lc code=start
class solution 
return res;
}int uniquepaths(int m, int n) // ac, 組合數c(m+n, m)
};// @lc code=end

其他方案包括質因數分解；

以及進一步降低了複雜度的 lucas定理；

還有人提出了二進位制輔助法的解決思路。

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計算組合數

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