最短路徑 迪傑斯特拉 Dijkstra 演算法

最短路徑問題是圖論研究中的乙個經典演算法問題，旨在尋找圖（由結點和路徑組成的）中兩結點之間的最短路徑，大致可以分為如下幾種問題，可無論如何分類問題，其本質思想還是不變的，即，求兩點間的最短距離。

a) 確定起點的最短路徑問題 - 即已知起始結點，求最短路徑的問題。

b) 確定終點的最短路徑問題 - 與確定起點的問題相反，該問題是已知終結結點，求最短路徑的問題。在無向圖中該問題與確定起點的問題完全等同，在有向圖中該問題等同於把所有路徑方向反轉的確定起點的問題。

c) 確定起點終點的最短路徑問題 - 即已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑。

d) 全域性最短路徑問題 - 求圖中所有的最短路徑。

如上圖，迪傑斯特拉演算法的核心思路是：

1) 指定乙個節點，例如我們要計算 'a' 到其他節點的最短路徑

2) 引入兩個集合（s、u），s集合包含已求出的最短路徑的點（以及相應的最短長度），u集合包含未求出最短路徑的點（以及a到該點的路徑，注意 如上圖所示，a->c由於沒有直接相連 初始時為∞）

3) 初始化兩個集合，s集合初始時 只有當前要計算的節點，a->a = 0，

4) u集合初始時為 a->b = 4, a->c = ∞, a->d = 2, a->e = ∞

5) 從u集合中找出路徑最短的點，加入s集合，例如 a->d = 2

6) 更新u集合路徑，if ( 'd 到 b,c,e 的距離' + 'ad 距離' < 'a 到 b,c,e 的距離' ) 則更新u

7) 迴圈執行 4、5 兩步驟，直至遍歷結束，得到a 到其他節點的最短路徑

#include #include 

#include 
using
namespace
std;
#define infinity 65535//
無邊時的權值
#define max_vertex_num 10//
最大頂點數
typedef 
struct
mgraph mgraph;
int locatevex(mgraph g, string u) 
void createdn(mgraph &g) } 
//迪傑斯特拉演算法求有向網g的v0頂點到其餘頂點v的最短路徑p[v]及帶權長度d[v]
//p=-1表示沒有路徑，p[v][i]存的是從v0到v當前求得的最短路徑經過的第i+1個頂點(這是列印最短路徑的關鍵)，則v0到v的最短路徑即為p[v][0]到p[v][j]直到p[v][j]=-1,路徑列印完畢。
//final[v]為true當且僅當v∈s,即已經求得從v0到v的最短路徑。
void shortestpath_dij(mgraph g, int v0, int p[max_vertex_num], int
d) }
d[v0]=0;//
v0到v0距離為0
final[v0]=true;//
v0頂點併入s集
for(i=1; i//
其餘g.vexnum-1個頂點
//開始主迴圈，每次求得v0到某個頂點v的最短路徑，並將v併入s集，然後更新p和d
min=infinity;
for(w=0; w//
對所有頂點檢查
if(!final[w] && d[w]//
在s集之外(即final=false)的頂點中找離v0最近的頂點，將其賦給v,距離賦給min
v=w;
min=d[w];
}final[v]=true;//
v併入s集
for(w=0; w//
根據新併入的頂點，更新不在s集的頂點到v0的距離和路徑陣列
if(!final[w] && mind[w])) }}
}}} 
intmain() 
cout
<0]<
到各頂點的最短路徑及長度為：
"<
for(i=0; i) 
cout
<
} else
if(d[i]==infinity)
cout
<0]<
<
不可達"
<
}return0;
}

請輸入頂點數和邊數：5

7請輸入頂點：a b c d e
請輸入邊和權值：
a d 
2a b 
4b d 
1b c 
4c d 
1d e 
7c e 
3最短路徑陣列p[i][j]如下：
-1 -1 -1 -1 -1
01 -1 -1 -101
2 -1 -1
03 -1 -1 -103
4 -1 -1
a到各頂點的最短路徑及長度為：
a-b的最短路徑長度為:4
最短路徑為：a b
a-c的最短路徑長度為:8
最短路徑為：a b c
a-d的最短路徑長度為:2
最短路徑為：a d
a-e的最短路徑長度為:9 最短路徑為：a d e

迪傑斯特拉最短路徑

問題描述 在帶權有向圖g中，給定乙個源點v，求從v到g中的其餘各頂點的最短路徑問題，叫做單源點的最短路徑問題。在常用的單源點最短路徑演算法中，迪傑斯特拉演算法是最為常用的一種，是一種按照路徑長度遞增的次序產生最短路徑的演算法。在本題中，讀入乙個有向圖的帶權鄰接矩陣 即陣列表示 建立有向圖並按照以上描...

最短路 （迪傑斯特拉）

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