劍指 Offer 40 最小的k個數

對原陣列從小到大排序後取出前 k 個數即可。

時間複雜度：o(nlogn)，其中 n 是陣列 arr 的長度。演算法的時間複雜度即排序的時間複雜度。

我們用乙個大根堆實時維護陣列的前 kk 小值。首先將前 kk 個數插入大根堆中，隨後從第 k+1k+1 個數開始遍歷，如果當前遍歷到的數比大根堆的堆頂的數要小，就把堆頂的數彈出，再插入當前遍歷到的數。最後將大根堆裡的數存入陣列返回即可。

時間複雜度：o(nlogk)，其中 n 是陣列 arr 的長度。由於大根堆實時維護前 k 小值，所以插入刪除都是 o(logk) 的時間複雜度，最壞情況下陣列裡 n 個數都會插入，所以一共需要o(nlogk) 的時間複雜度。

空間複雜度：o(k)，因為大根堆裡最多 k 個數。

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class
solution 19}
2021
while(!q.empty()) 
2526
return
res;27}
28 };

我們可以借鑑快速排序的思想。我們知道快排的劃分函式每次執行完後都能將陣列分成兩個部分，小於等於分界值 pivot 的元素的都會被放到陣列的左邊，大於pivot的都會被放到陣列的右邊。

與快速排序不同的是，快速排序會根據分界值的下標遞迴處理劃分的兩側，而這裡我們只處理劃分的一邊，並返回分界值pivot的下標i。但是劃分**和快速排序中的**是一模一樣的。

所以演算法步驟如下：

（1）編寫partition()函式，與快速排序的元素劃分**一模一樣，選擇區間最左側的元素為pivot，將乙個區間內所有小於pivot的數放在左邊，大於pivot的數放在右邊，然後返回pivot的下標i。

（2）對每次劃分之後pivot的下標和k進行判斷：

如果劃分之後的下標pivotindex剛好等於要找的第k個數的下標(下標從零開始，所以此處為k-1), 說明arr[pivotindex]就是要找的第k個數，又由於pivotindex左邊的數都小於arr[pivotindex]，

所以左邊的數就是最小的k個數，則將這k個數裝入答案陣列；

如果劃分之後的下標pivotindex大於要找的第k個數的下標，則遞迴處理左半區間[left, pivotindex-1] ；

如果劃分之後的下標pivotindex小於要找的第k個數的下標，則遞迴處理右半區間[pivotindex+1, right] 。

對於最好的情況：每次所選的pivot劃分之後正好在陣列的正中間，那麼遞迴方程為t(n) = t(n/2) + n，解得t(n) = o(n)，所以此時此演算法是o(n)線性複雜度的。

對於最壞的情況：每次的劃分點都是最大值或最小值，即每次所選的pivot劃分之後都好在陣列最邊上，一共需要劃分 n - 1次，而每次劃分需要o(n)的時間複雜度，所以此時此演算法時間複雜度為o(n2)。

可以改進：改進選取主元的方法，使每次選出的主元在劃分之後都能接近陣列的中間位置，這樣每次劃分都能減少當前區間一半元素的工作量，可以使最壞情況下的時間複雜度降為o(n)。關於這種改進後的主元選取方法，見《演算法導論(第3版)》的9.3節和這篇bfprt演算法的文章。

空間複雜度：期望為 o(logn)，遞迴呼叫的期望深度為 o(logn)，每層需要的空間為 o(1)，只有常數個變數。最壞情況下的空間複雜度為 o(n)。最壞情況下需要劃分 n次，而每層由於需要 o(1)的空間，所以一共需要 o(n) 的空間複雜度。

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class
solution 78
/*和快速排序的劃分**一模一樣
*/9 vector partition(vector& arr, int k, int left, int
right) 
1920
swap(arr[left], arr[i]);
2122
//先判斷，有選擇的對左半邊或者右半邊進行遞迴
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