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揹包問題

01揹包

狀態：f(i,j) 表示只能裝前i個物品的情況下，容量為j的揹包所能達到的最大總價值

狀態轉移方程： f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i-1,j-w[i])+v[i])

核心**（滾動陣列）由於我們使用一維陣列儲存，則在求兩個子問題時沒有直接取出那麼方便了，因為第i次迴圈可能覆蓋第i-1次迴圈的結果

「相反，如果在執行第 i 次迴圈時，揹包容量按照0..v的順序遍歷一遍，來檢測第 i 件物品是否能放。此時在執行第i次迴圈且揹包容量為v時，此時的f[v]儲存的是 f[i - 1][v] ，但是，此時f[v-weight[i]]儲存的是f[i][v-weight[i]]。

因為，v > v - weight[i]，第i次迴圈中，執行揹包容量為v時，容量為v - weight[i]的揹包已經計算過，即f[v - weight[i]]中儲存的是f[i][v - weight[i]]。即，對於01揹包，按照增序列舉揹包容量是不對的。」

for (int i = 1; i <= n; i++) 
}

但是，增序列舉會達到什麼效果：它會重複的裝入某個物體，而且盡可能的多使價值增大

01揹包方案數問題

洛谷p1164 小a點菜

「開個玩笑，這是一道簡單的動規題，定義f[i][j]為用前i道菜用光j元錢的辦法總數，其狀態轉移方程如下：

（1）if(j==第i道菜的**)f[i][j]=f[i-1][j]+1;

（2）if(j>第i道菜的**) f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-第i道菜的**];

（3）if(j《第i道菜的**) f[i][j]=f[i-1][j];

」code1

const
int maxn = 105
;int n, m, w[maxn], f[maxn][10010
];int
main() 
for (int i = 0; i <= n; i++) 
for (int i = 1; i <= n; i++) 
}printf("%d
", f[n][m]);
return0;
}

view code

code2

const
int maxn = 105
;int n, m, w[maxn], f[100010
];int
main() 
f[0] = 1
; 
for (int i = 1; i <= n; i++) 
}printf("%d
", f[m]);
return0;
}

view code

:完全揹包問題

狀態轉移方程： f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i,j-w[i])+v[i]) 理由是當我們這樣轉換時，f(i,j-w[i])已經由f(i,j-2*w[i]) 更新過，那麼f(i,j-w[i])就是充分考慮了第i件物品後的最優結果換言之，我們通過區域性最優子結構的性質重複使用了之前的列舉過程，優化了列舉的複雜度。

for (int i = 1; i <= n; i++) 
}

多重揹包問題

考慮二進位制優化

時間複雜度o(nwlog∑mi)

luogu p1776 寶物篩選

#include#include
#include
#include
typedef 
long
long
ll;using
namespace
std;
const
int maxn = 100505
;const
int maxm = 25005
;int n, m, ans, cnt = 1
;int
f[maxn];
intw[maxn], v[maxn];
intmain() 
if (c) v[++cnt] = a * c, w[cnt] = b * c; //
二進位制優化 拆分
} 
for (int i = 1; i <= cnt; i++) 
}printf(
"%d\n
", f[m]);
return0;
}

hdu 2844 coins(多重揹包）

注意：本題只關注「可行性」

因此不妨變換思路求解

#include#include
#include
#include
typedef 
long
long
ll;using
namespace
std;
int vis[100005
];int a[105
];int c[105
];int f[100005
];int
main() }}
int cnt = 0
; 
for (int i = 1; i <= m; i++) if (f[i]) cnt++;
printf(
"%d\n
", cnt);
}return0;
}

分組揹包（三重迴圈）

狀態轉移方程 f(k,v)=max(f(k-1,v),f(k-1,v-ci)+wi|i屬於group k)

時間複雜度o（nv)

hdu1712 acboy needs your help

#include#include
#include
#include
typedef 
long
long
ll;using
namespace
std;
int mp[105][105
];int f[10005
];int
main() 
}for (int i = 1; i <=n; i++) }}
printf(
"%d\n
", f[m]);
}return0;
}

初始化問題：

「初始化的f陣列事實上就是在沒有任何物品可以放入揹包時的合法狀態。

如果要求揹包恰好裝滿，那麼此時只有容量為0的揹包可能被價值為0的nothing「恰好裝滿」，其它容量的揹包均沒有合法的解，屬於未定義的狀態，它們的值就都應該是-∞了。

如果揹包並非必須被裝滿，那麼任何容量的揹包都有乙個合法解「什麼都不裝」，這個解的價值為0，所以初始時狀態的值也就全部為0了。」

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