混沌理論和相空間理論

2022-06-23 20:57:12 字數 1268 閱讀 9906

首先,量子力學中的不確定性原理告訴我們,如果想同時知道一個微觀粒子的動量和位置,是永遠不可能做到的,並且波函式告訴我們在沒有進行測量的時候,微觀粒子在空間當中的位置時服從概率分佈的。

在自然界中,大部分的系統都屬於非線性系統,也就是不能用一個線性方程來描述它。有時候它是有規律,有週期性的,有時候它不是週期運動。所以研究者們一般都用好幾個非線性方程聯立來描述,而為了解析這些系統就要求解這些非線性方程,但是這些方程求解困難。像廣義相對論的場方程就是二階非線性偏微分方程,求解方法一般就是找一個近似的線性方程,求近似的解。這裡的非線性系統可以理解為天氣預報系統,因為天氣狀況也是處於混沌狀態。舉個例子,就目前來看人們還不能精準的去****和天氣預報,因為天氣預報只能大範圍的,短期的**不是每次都很準。如果想要精準的**,比如這片雲要下雨,能落到哪一條街,哪個人身上,這肯定是做不到的。這一切的背後有一套理論在做支撐,叫做混沌理論。

混沌狀態區別於隨機狀態,這兩種狀態差異化很大。隨機狀態就是純概率的事件,如擲骰子一般。而混沌系統,它雖然有解,但要解開難度極大,並且混沌系統是總是在變化之中,它的狀態稍微有一丁點系統內的變化到最後都有可能引起巨大的改變。

總而言之,混沌理論表明一切看似沒有關係離散的事件,在其內部都有一定的聯絡。人們肉眼能觀察到的,可能都是一個混沌系統的區域性,所以看不到其聯絡,可見混沌系統暗含了混沌系統是具有區域性隨機整體有序的特點。隨著混沌理論的深入研究,人們可能會解釋或**出某些事件現象的發展趨勢。

在數學和物理領域,定義一個動力系統所有可能狀態的空間,並且系統中每一個可能的狀態都與唯一一點相對應。這些點的組合空間稱作相空間。 系統的每個變數可以用相空間中的一個維度來表示。特殊地,一維繫統的相空間稱為相線(phase line),二維繫統的相空間稱為相平面(phase plane)。相空間的每一個點都唯一對應了動力系統中一個可能的狀態,或者說系統各變數的一個取值組合,對應於相空間中一個點的座標。將相空間中的點連線起來,就得到了系統的相空間軌跡(phase space trajectory),該軌跡反映了動力系統的狀態隨時間演化的過程。在相空間中繪出系統相空間軌跡,也就得到了相圖。因此動力系統的單個狀態被稱作相空間點的狀態向量。

一般來說,相空間是高維的。肉眼可見的時間序列往往都是整個動力系統的一維時間序列,也就是單變數混沌時間序列。研究者們往往通過一系列計算方法可以將整個混沌系統的相空間進行降維,使得降維後的相空間依然可以近似表徵出整個混沌系統的因果關係,大大減少了解析混沌系統的計算資源。這也就是相空間理論的重要應用意義之一。

[1] 蔣振豪等.基於機器學習的混沌時間序列**研究及應用[d].南京:東南大學,2018:1-20.