網路流演算法

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網路流圖是一張只有乙個源點和匯點的有向圖，而最大流就是求源點到匯點間的最大水流量，下圖的問題就是乙個最基本，經典的最大流問題

二.流量，容量和可行流

對於弧(u,v)來說，流量就是其上流過的水量(我們通常用f(u,v)表示)，而容量就是其上可流過的最大水量(我們通常用c(u,v)表示)，只要滿足f(u,v)<=c(u,v)，我們就稱流量f(u,v)是可行流(對於最大流問題而言，所有管道上的流量必須都是可行流)。

三.增廣路

如果一條路上的所有邊均滿足:

正向邊: f(u,v)< c(u,v) ——– 反向邊：f(u,v)> 0

則我們稱這條路徑為一條增廣路徑，簡稱增廣路。

好了，弄懂了一些定義，接下來就可以介紹著名的ford-fulkerson演算法了。

如圖所示，如果我們每次都找出一條增廣路，只要這條增廣路經過匯點，那說明此時水流還可以增加，增加的量為d(d=min(d,c(u,v)-f(u,v))或d=min(d,f(u,v)))。

我們可以這樣理解：對於每一條正向邊，他能新增的最大水流為c(u,v)-f(u,v)。而對於反向邊來說，當正向邊上的水流增多時，反向邊自身的反向水流會減少，而其能減少的最多水量為f(u,v)。由於要保證新增水流之後，所有的f(u,v)都是可行流，所以我們取最小值。

增加之後，我們要更新流量，每條正向邊+d,每條反向邊-d即可。

既然這樣，我們的思路就是：

1.找出一條增廣路徑

——2.修改其上點的值——3.繼續重複1，直至找不出增廣路。則此時源點的匯出量即為所求的最大流。

我這裡就不貼這個演算法的**了，想看的可以去原文上面看。在這裡我貼一下dinic演算法**模板：

dinic演算法

dinic演算法是網路流最大流的優化演算法之一，每一步對原圖進行分層，然後用dfs求增廣路。時間複雜度是o(n^2*m)，dinic演算法最多被分為n個階段，每個階段包括建層次網路和尋找增廣路兩部分。

dinic演算法的思想是分階段地在層次網路中增廣。它與最短增廣路演算法不同之處是：最短增廣路每個階段執行完一次bfs增廣後，要重新啟動bfs從源點st開始尋找另一條增廣路;而在dinic演算法中，只需一次bfs過程就可以實現多次增廣。

簡單來說，分為下面幾步：

1.在剩餘網路中查詢是否存在從s到t的路徑，同時建分層圖。

分層圖的層數其實就是s到i這個點需要幾步。

2.沿著分層圖多路增廣。

增廣時一定要滿足dis[j]=dis[i]+1。

3.直到沒有s到t的路徑是結束演算法。

下面**的題目解析可以到這裡看

**：

1 #include2 #include
3 #include4 #include5 #include6
using
namespace
std;
7const
int maxn=10000;8
const
int inf=0x3f3f3f3f;9
inthead[maxn],cnt,st,en,dis[maxn],cur[maxn];
10struct
edge
11e[maxn];
14void add_edge(int x,int y,int
z)15
22bool
bfs()
2340}41
}42return
dis[en];43}
44int dinic(int s,int
limit)
4561}62
if(!ans) dis[s]=-1;63
return
ans;64}
65int
main()
6678
for(int i=1;i<=d;++i)
7983
for(int i=1;i<=n;++i)
8496
for(int j=0;jj)
97102
}103
//到這建圖結束
104105
int ans=0
;106
while
(bfs())
107112 printf("
%d\n
",ans);
113return0;
114 }

網路流演算法

網路流演算法

網路流演算法

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