素數的定義看起來很簡單，如果乙個數如果只能被 1 和它本身整除，那麼這個數就是素數。
// 返回區間 [2, n) 中有幾個素數
int countprimes(int n)
// 比如 countprimes(10) 返回 4
// 因為 2,3,5,7 是素數
int countprimes(int n)
// 判斷整數 n 是否是素數
boolean isprime(int n)
先來簡單說下如果你要判斷乙個數是不是素數，應該如何寫演算法。只需稍微修改一下上面的 isprim **中的 for 迴圈條件：
boolean isprime(int n)i不需要遍歷到n，而只需要到sqrt(n)即可。為什麼呢，我們舉個例子，假設n = 12。
12 = 2 × 6
12 = 3 × 4
12 = sqrt(12) × sqrt(12)
12 = 4 × 3
12 = 6 × 2
sqrt(n)。
換句話說，如果在[2,sqrt(n)]這個區間之內沒有發現可整除因子，就可以直接斷定n是素數了，因為在區間[sqrt(n),n]也一定不會發現可整除因子。
現在，isprime函式的時間複雜度降為 o(sqrt(n))，但是我們實現countprimes函式其實並不需要這個函式，以上只是希望讀者明白sqrt(n)的含義，因為等會還會用到。
高效解決這個問題的核心思路是和上面的常規思路反著來：
首先從 2 開始，我們知道 2 是乙個素數，那麼 2 × 2 = 4, 3 × 2 = 6, 4 × 2 = 8... 都不可能是素數了。
然後我們發現 3 也是素數，那麼 3 × 2 = 6, 3 × 3 = 9, 3 × 4 = 12... 也都不可能是素數了。
看到這裡，你是否有點明白這個排除法的邏輯了呢？先看我們的第一版**：
int countprimes(int n)首先，回想剛才判斷乙個數是否是素數的isprime函式，由於因子的對稱性，其中的 for 迴圈只需要遍歷[2,sqrt(n)]就夠了。這裡也是類似的，我們外層的 for 迴圈也只需要遍歷到sqrt(n)：
for (int i = 2; i * i < n; i++)
if (isprim[i])
...
for (int j = 2 * i; j < n; j += i)
isprim[j] = false;
i的整數倍都標記為false，但是仍然存在計算冗餘。
比如n = 25，i = 4時演算法會標記 4 × 2 = 8，4 × 3 = 12 等等數字，但是這兩個數字已經被i = 2和i = 3的 2 × 4 和 3 × 4 標記了。
我們可以稍微優化一下，讓j從i的平方開始遍歷，而不是從2 * i開始：
for (int j = i * i; j < n; j += i)
isprim[j] = false;
int countprimes(int n)n/2 + n/3 + n/5 + n/7 + ...
= n × (1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7...)
括號中是素數的倒數。其最終結果是 o(n * loglogn)，有興趣的讀者可以查一下該演算法的時間複雜度證明。
以上就是素數演算法相關的全部內容。怎麼樣，是不是看似簡單的問題卻有不少細節可以打磨呀？
如何高效尋找素數
如果 個數如果只能被 1 和它本 整除，那麼這個數就是素數。返回區間 2,n 中，素數的個數 int countprimes int n 時間複雜度o n 2 int countprimes int n 判斷整數n是否是素數 boolean isprime int n return true 找其他...
尋找素數對
哥德 猜想大家都知道一點吧.我們現在不是想證明這個結論,而是想在程式語言內部能夠表示的數集中,任意取出乙個偶數,來尋找兩個素數,使得其和等於該偶數.做好了這件實事,就能說明這個猜想是成立的.由於可以有不同的素數對來表示同乙個偶數,所以專門要求所尋找的素數對是兩個值最相近的.input 輸入中是一些偶...
尋找素數對
哥德 猜想大家都知道一點吧.我們現在不是想證明這個結論,而是想在程式語言內部能夠表示的數集中,任意取出乙個偶數,來尋找兩個素數,使得其和等於該偶數.做好了這件實事,就能說明這個猜想是成立的.由於可以有不同的素數對來表示同乙個偶數,所以專門要求所尋找的素數對是兩個值最相近的.輸入中是一些偶整數m 5對...