二分查詢高效判定子串行

392.判斷子串行

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二分查詢本身不難理解，難在巧妙地運用二分查詢技巧。對於乙個問題，你可能都很難想到它跟二分查詢有關，比如前文 最長遞增子串行 就借助乙個紙牌遊戲衍生出二分查詢解法。

今天再講一道巧用二分查詢的演算法問題：如何判定字串s是否是字串t的子串行（可以假定s長度比較小，且t的長度非常大）。舉兩個例子：

s = "abc", t = "ahbgdc", return true.

s = "axc", t = "ahbgdc", return false.

題目很容易理解，而且看起來很簡單，但很難想到這個問題跟二分查詢有關吧？

首先，乙個很簡單的解法是這樣的：

bool issubsequence(string s, string t) 

return i == s.size();
}

讀者也許會問，這不就是最優解法了嗎，時間複雜度只需 o(n)，n 為t的長度。

是的，如果僅僅是這個問題，這個解法就夠好了，不過這個問題還有 follow up：

如果給你一系列字串s1,s2,...和字串t，你需要判定每個串s是否是t的子串行（可以假定s較短，t很長）。

boolean issubsequence(string sn, string t);

可以，但是此解法處理每個s時間複雜度仍然是 o(n)，而如果巧妙運用二分查詢，可以將時間複雜度降低，大約是 o(mlogn)。由於 n 相對 m 大很多，所以後者效率會更高。

ps：我認真寫了 100 多篇原創，手把手刷 200 道力扣題目，全部發布在 labuladong的演算法小抄，持續更新。建議收藏，按照我的文章順序刷題，掌握各種演算法套路後投再入題海就如魚得水了。

二分思路主要是對t進行預處理，用乙個字典index將每個字元出現的索引位置按順序儲存下來：

int m = s.length(), n = t.length();

arraylist index = new arraylist[256];
// 先記下 t 中每個字元出現的位置
比如對於這個情況，匹配了 "ab"，應該匹配 "c" 了：
按照之前的解法，我們需要j線性前進掃瞄字元 "c"，但借助index中記錄的資訊，可以二分搜尋index[c]中比 j 大的那個索引，在上圖的例子中，就是在[0,2,6]中搜尋比 4 大的那個索引：
這樣就可以直接得到下乙個 "c" 的索引。現在的問題就是，如何用二分查詢計算那個恰好比 4 大的索引呢？答案是，尋找左側邊界的二分搜尋就可以做到。
ps：我認真寫了 100 多篇原創，手把手刷 200 道力扣題目，全部發布在 labuladong的演算法小抄，持續更新。建議收藏，按照我的文章順序刷題，掌握各種演算法套路後投再入題海就如魚得水了。
在前文 二分查詢詳解 中，詳解了如何正確寫出三種二分查詢演算法的細節。二分查詢返回目標值val的索引，對於搜尋左側邊界的二分查詢，有乙個特殊性質：
當val不存在時，得到的索引恰好是比val大的最小元素索引。
什麼意思呢，就是說如果在陣列[0,1,3,4]中搜尋元素 2，演算法會返回索引 2，也就是元素 3 的位置，元素 3 是陣列中大於 2 的最小元素。所以我們可以利用二分搜尋避免線性掃瞄。
// 查詢左側邊界的二分查詢

int left_bound(arraylistarr, int tar) else 
}return lo;
}
以上就是搜尋左側邊界的二分查詢，等會兒會用到，其中的細節可以參見前文《二分查詢詳解》，這裡不再贅述。

這裡以單個字串s為例，對於多個字串s，可以把預處理部分抽出來。
boolean issubsequence(string s, string t) 

// 串 t 上的指標
int j = 0;
// 借助 index 查詢 s[i]
for (int i = 0; i < m; i++) 
return true;
}
演算法執行的過程是這樣的：

可見借助二分查詢，演算法的效率是可以大幅提公升的。
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