演算法導論3 1

漸近記號用來刻畫演算法的執行時間，但是想要綜合性的覆蓋所有的輸入，需要不同的漸近記號；

\(\theta\)記號，確定乙個演算法的漸近上界和漸近下界，具體定義如下：

\(\theta(g(n))\)=

\)，有\(0\leq\leq\leq\)}

此處\(f(n)\)代表該演算法的準確執行時間，包含所有的低階項、常量等細節；

\(\theta(g(n))\)代表最高項為\(g(n)\)的所有函式的集合；

這裡函式\(f(n)\)被它的上界\(c_1g(n)\)和它的下界\(c_2g(n)\)夾裹，也就是對所有的\(n\geq\)，存在乙個常數\(c\)，使得\(cf(n)\)=\(g(n)\)，則稱\(g(n)\)是\(f(n)\)的乙個漸近緊確界；

\(o\)記號，確定乙個演算法的漸近上界，具體定義如下：

\(o(g(n))\)=\)，有\(0\leq\leq\)}；

一般用來描述最壞執行時間

\(\omega\)記號，確定乙個演算法的漸近下界，具體定義如下：

\(\omega(g(n))\)=\)，有\(0\leq\leq\)}；

一般用來描述最好執行時間

\(o\)記號，確定乙個演算法的非漸近緊確的上界，形式化定義如下：

\(o(g(n))\)=\)，有\(0\leq<\)}；

\(\omega\)記號，確定乙個演算法的非漸近緊確的下界，形式化定義如下：

\(\omega(g(n))\)=\)，有\(0\leq<\)}；

假設\(f(n)\)和\(g(n)\)都是漸近非負函式，使用\(\theta\)記號的基本定義證明\(max(f(n), g(n))=\theta(f(n)+g(n))\)。

存在正常量\(c_1\)和\(c_2\)和\(n_0\)，使得對所有的\(n\geq\)，有\(0\leq+g(n))}\leq\leq})\)

因為這兩個函式都是非負的，所以不等式最左邊顯然成立；

此處令\(c_2=1\)，就有\(max(f(n), g(n))\leq\)顯然成立；

然後令\(c_1=\frac\)，就有\(\frac\leq\)顯然成立；

證畢；

證明：對任意實常量\(a\)和\(b\)，其中\(b>0\)，有

\((n+a)^b=\theta(n^b)\)

存在正常量\(c_1\)、\(c_2\)和\(n_0\)，使得對所有的\(n\geq\)，有

\(0\leq\leq}\)

對於所有\(n\geq\)，不等式的最左邊顯然成立；

解釋為什麼「演算法a的執行時間至少是\(o(n^2)\)」這一表述是無意義的。

這裡的至少，指明了下界；但是\(o(n^2)\)又指明了上界，兩者是衝突的，所以這一說法的錯誤的；

\(2^ = o(2^n)\)成立嗎？\(2^=o(2^n)\)成立嗎？

因為有\(n>0\)，使得\(0\leq}\leq\)成立。

對於第二個等式不成立；

此處使用反證法，先假定\(2^=o(2^)\)成立，那麼根據定義必有：

\[2^ \leq c*2^

\]成立，也就是要求\(2^n\leq\)，顯然可知不等式不可能成立，所以\(2^=o(2^n)\)不成立。

證明定理3.1

對於任意兩個函式\(f(n)\)和\(g(n)\)，當且僅當\(f(n)=o(g(n))\)和\(f(n)=\omega(g(n))\)時，\(f(n)=\theta(g(n))\)成立；

證明: 乙個演算法的執行時間為\(\theta(g(n))\)當且僅當其最壞執行時間為\(o(g(n))\)，且其最好執行時間為\(\omega(g(n))\)。

證明: \(o(g(n))\bigcap\omega(g(n))\)為空集

\[\begin

& 0\leq<, &o(g(n)) \\

&0\leq<, &\omega(g(n))

\end

\]推斷有以下式子成立：

\[\begin

& g(n)>}, & o(g(n)) \\

& g(n)<}, & \omega(g(n))

\end

\]上述不等式，顯然不能同時成立，也就是這兩個集合的交集為空集，證畢；

可以擴充套件我們的記號到有兩個引數\(n\)和\(m\)的情形，其中的\(n\)和\(m\)可以按不同的速率獨立地趨於無窮。對於給定的函式\(g(n, m)\)，用\(o(g(n,m))\)來表示以下函式集：

\[\begin

& o(g(n,m))=\，\\

& 或m\geq，有0\leq\leq。

\end

\]請給出\(\omega(g(n,m))\)和\(\theta(g(n,m))\)相應的定義。

\[\begin

& \omega(g(n,m))=\，\\

& 或m\geq，有0\leq\leq。

\end

\]\(\theta(g(n,m))\)定義如下：

\[\begin

& \theta(g(n,m))=\，\\

& 或m\geq，有c_1\leq\leq。

\end

\]

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