演算法日更第十九期動態規劃 RMQ問題

▎前言

首先先來說一下rmb是什麼，當然是人民幣啦。

今天我們要學的這個東西不一般，叫做rmq問題，那麼它和rmb有什麼關係呢？待小編細細說來。

▎前置技能：動態規劃

不會的同志請戳這裡迅速了解動態規劃。

▎rmq問題是什麼

☞『定義』

☞『問題解決：模擬演算法』

rmq只是一類這樣的問題，卻不是一門演算法。

既然是問題，那麼我們就應該解決，但是怎麼解決，怎樣解決，一切先從模擬演算法（直白一點叫暴力）說起。

先來想想模擬演算法怎麼解決，當然是給定區間後直接遍歷，尋找最大/最小值唄。但是別忘了，這種題多次詢問，一直遍歷對於資料規模大的題簡直是杯水車薪。

此時，不得不請出動態規劃。

☞『問題解決：動態規劃』

我們為什麼使用動態規劃呢？先來思考這個問題：為什麼暴力不能滿足需求。

你肯定會說：這還不簡單，暴力慢唄。

但是暴力究竟慢在了**？暴力慢在了沒有完全利用好整個大區間，很多東西都在重複遍歷。

那麼什麼東西能很好的利用大區間呢？我們就會自然的想到了動態規劃（感覺屬於區間動態規劃）。

既然多次詢問，那麼就變向的告訴了我們一定要預處理，這裡我們的動態規劃可以o(n log n)預處理，然後o(1)查詢。

先來思考怎麼設計狀態，最開始小編是這樣想的，既然是區間型動態規劃類問題，那麼就讓f[i][j]表示i~j區間內的最大/最小數吧，(以最大數為例)狀態轉移方程自然就是f[i][j]=max(f[i][k],f[k+1][j])。(k為隨機乙個i~j區間的陣列下標，不過小編更喜歡取中點)

後來發現一本通提高篇上的設計狀態更好，更快捷，我設計的太慢了。一本通提高篇上是這樣處理的：f[i][j]表示i~2j-1區間內的最大/最小數，那麼我們可以仿照之前我的想法，分一半，就是這樣的:

從區間初始和結束位置改成動態規劃的形式後就是這樣的：f[i][j-1]和f[i+2j-1][j-1]，有時候奇數和偶數是不一樣的，所以小編的圖可能對這兩個式子來說不太標準。

那麼我們要求的最大最小值就很簡單了。

但是問題又來了，我們如何面對詢問呢？

我們可以以二為底，將這個區間內數字的個數次方（冪的逆運算）為界，進行比較兩個區間大小，**一下：

那麼我們就只要比較出兩個區間中的最大最小值即可。兩個區間改成動態規劃形式就是f[x][log[d]],f[y-(1好了，問題又來了，log怎麼處理，我們先來看一下前10個數的log處理情況：

經過專業調查和探尋後，就會發現log[i]=log[i/2]+1的規律，因此我們可以預處理出log的值。

☞『這麼快的演算法，為什麼還需要其他演算法呢？』

其實這個問題正是這個演算法的弊端，因為不能支援期間修改一些數的值。

而線段樹，樹狀陣列正巧妙的解決了這一弊端。

▎實戰演練：洛谷p1816 忠誠（模板題）

廢話不多說，直接上題：

老管家是乙個聰明能幹的人。他為財主工作了整整10年，財主為了讓自已賬目更加清楚。要求管家每天記k次賬，由於管家聰明能幹，因而管家總是讓財主十分滿意。但是由於一些人的挑撥，財主還是對管家產生了懷疑。於是他決定用一種特別的方法來判斷管家的忠誠，他把每次的賬目按1，2，3…編號，然後不定時的問管家問題，問題是這樣的：在a到b號賬中最少的一筆是多少？為了讓管家沒時間作假他總是一次問多個問題。

輸入格式：

輸入中第一行有兩個數m,n表示有m(m<=100000)筆賬,n表示有n個問題，n<=100000。

第二行為m個數,分別是賬目的錢數

後面n行分別是n個問題,每行有2個數字說明開始結束的賬目編號。

輸出格式：

輸出檔案中為每個問題的答案。具體檢視樣例。

輸入樣例#1：複製

10 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 73 9

1 10

輸出樣例#1：複製

2 3 1

這道題相當好做，就是模板題，所以就不解釋了，直接上**：

1 #include2
using
namespace
std;
3int m,n,a[100000],f[100000][100],x,y,log[100000];4
intmain()512
for(int j=1;j<=16;j++)
13for(int i=1;i+(1
<1
<=m;i++)
14 f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i+(1
<
]);15 log[1]=0;16
for(int i=2;i<=100000;i++)
17 log[i]=log[i/2]+1;18
for(int i=1;i<=n;i++)
1924
return0;
25 }

▎實戰演練：一本通1541：【例 1】數列區間最大值（模板題）

廢話不多說，直接上題：

時間限制: 1000 ms 記憶體限制: 524288 kb

提交數: 638 通過數: 224

輸入一串數字，給你 m

m 個詢問，每次詢問就給你兩個數字 x,y

x,y，要求你說出 x

x 到 y

y 這段區間內的最大數。

第一行兩個整數 n,m

n,m 表示數字的個數和要詢問的次數；

接下來一行為 n

n 個數；

接下來 m

m 行，每行都有兩個整數 x,y

x,y。

輸出共 m

m 行，每行輸出乙個數。

10 2

3 2 4 5 6 8 1 2 9 7

1 43 8

對於全部資料，1≤n

≤105,

1≤m≤

106,1

≤x≤y

≤n'>1≤n≤105

,1≤m≤106

,1≤x≤y≤n

。數字不超過 c/c

++'>c/c++

的 in

t'>

int 範圍。

無這道題只要把忠誠的**改成max就可以了（還稍微有點其他細節），注意會卡常數，不能用cin和cout。**如下：

1 #include2 #include3
using
namespace
std;
4int m,n,a[1000000],f[1000000][100],x,y,log[1000000];5
intmain()613
for(int j=1;j<=18;j++)
14for(int i=1;i+(1
<1
<=m;i++)
15 f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1
<
]);16 log[1]=0;17
for(int i=2;i<=m;i++)
18 log[i]=log[i>>1]+1;19
for(int i=1;i<=n;i++)
2025
return0;
26 }

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