\(n\) 個相異物件取 \(r\)（\(1 \leq r \leq n\)）個的不同排列總數，為
\[p_r^n = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)
\]特別地，若 \(n=r\)，得
\[p_r^r = r(r-1)\cdots 1 = r!
\]人們常約定把 \(0!\) 作為 \(1\)。當 \(r\) 不是非負整數時，記號 \(r!\) 沒有意義。
\(n\) 個相異物件取 \(r\) 個（\(1 \leq r \leq n\)）個的不同組合總數，為
\[c_r^n = \binom = \frac = \frac = \frac
\]當 \(r=0\) 時，按 \(0!=1\) 的約定，算出 \(\binom = 1\)，這可看作乙個約定。
只要 \(r\) 為非負整數，\(n\) 不論為任何實數，都有意義。故 \(n\) 可不必限制為自然數。例如：
\[\binom = (-1)(-2) \cdots (-r) / r! = (-1)^r
\]組合係數 \(\binom\) 又常稱為二項式係數，因為它出現在下面熟知的二項式展開的公式中：
\[(a+b)^n = \sum_^n \dbinoma^i b^
\]利用這個關係式，可得出許多有用的組合公式。例如，令 \(a=b=1\)，得
\[\dbinom + \dbinom + \cdots + \dbinom = 2^n
\]令 \(a = -1，b = 1\)，則得：
\[\dbinom - \dbinom + \dbinom - \cdots + (-1)^n\dbinom = 0
\]另乙個有用的公式是
\[\dbinom = \sum_^\dbinom\dbinom
\]它是由恒等式 \((1+x)^ = (1+x)^m(1+x)^n\) 即
\[\sum_^ \dbinom x^j = \sum_^ \dbinom x^j \sum_^ \dbinomx^j
\]比較兩邊的 \(x^k\) 項的係數得到的。
其實，這條公式從直觀上理解要更容易，即有兩堆物品，第一堆有 \(m\) 件，第二堆有 \(n\) 件，要從這兩堆物品中取出 \(k\) 件，有多少種取法？顯然，我們可以先在第一堆取 \(i\) 件（\(0 \leq i \leq k\)），然後在第二堆取 \(k - i\) 件，則取法有 \(\binom \binom\) 種，把 \(i\) 的所有取值結果相加，即得上面的公式。
\(n\) 個相異物件分成 \(k\) 堆，各堆物件數分別為 \(r_1, \cdots, r_k\) 的分法是
\[\frac
\]此處，\(r_1, \cdots, r_k\) 都是非負整數，其和為 \(n\)。注意：這裡要計較堆的次序，例如，若有 5 個物體 \(a，b，c，d，e\) 分成 \(3\) 堆，則 \((ac)，(d)，(be)\) 和 \((be)，(ac)，(d)\) 應算作兩種不同的分法。如果不考慮次序，還需要再除以 \(k!\)。
此式常稱為多項式係數，因為它是 \((x_1+\cdots+x_k)^n\) 的展開式中 \(x_1^ \cdots x_k^\) 這一項的係數。
排列組合公式
排列組合公式 排列組合計算公式 公式c是指組合，從n個元素取r個，不進行排列。n 元素的總個數 r參與選擇的元素個數 階乘，如 9！9 8 7 6 5 4 3 2 1 從n倒數r個，表示式應該為n n 1 n 2 n r 1 因為從n到 n r 1 個數為n n r 1 r 舉例 q1 有從1到9共...
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排列組合的公式
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