POJ1276 多重揹包（01揹包完全揹包）

多重揹包模板題，給定揹包容量\(v\)，給定\(n\)種物品，每種物品的個數\(n_i\)、體積\(v_i\)和重量\(w_i\)已知，求揹包能裝下的物品的最大重量。對應本題就是，給定提款的金額cash，給定\(n\)種錢幣，每種錢幣的個數為\(n_i\)、面額\(d_i\)已知，求能兌換的錢幣的最大值。本題中，體積和重量都等於面額。

735 3 4 125 6 5 3 350 633 4 500 30 6 100 1 5 0 1 735 0

0 3 10 100 10 50 10 10

735 6300

0

剛開始的想法是直接轉化為01揹包問題來解，即將第\(i\)種物品換成\(n_i\)件01揹包中的物品，則得到了物品數為\(\sum\)的01揹包問題，直接求解複雜度為\(\mathcal(v\sum)\)，測試表明會tle。

需要對以上的樸素想法進行優化。將第\(i\)件物品參考二進位制的思想來拆分，即拆分乘若干件01揹包中的物品，每件物品的係數分別為\(2^0, 2^1, 2^2,\cdots,2^,n_i-2^k+1\)，\(k\)是滿足\(n_i-2^k+1>0\)的最大整數。例如，若\(n_i=13\)，則可以拆分為係數分別為\(1,2,4,6\)四件物品。拆分的核心出發點就是，原先的\(1\cdots n_i\)之間的任意整數都能用相應的係數組合而成。這樣的話，複雜度就可以降低為\(\mathcal(v\sum \rceil})\)。

另外，若\(n_i\times v_i>v\)時，針對物品\(i\)可以看作完全揹包問題，可以用完全揹包的複雜度為\(\mathcal(nv)\)演算法求解物品\(i\)。

result: tle

#include #include #include int cash, n;
int denominations[10 * 1000 + 5];
int opt[100000 + 5];
int main() 
for (int i = 1; i < ptr; i++)
for (int j = cash; j >= denominations[i]; j--)
opt[j] = std::max(opt[j], opt[j - denominations[i]] + denominations[i]);
printf("%d\n", opt[cash]);
} return 0;
}

程式中01揹包和完全揹包都優化了空間複雜度，只需要定義opt為一維陣列即可。二維陣列opt到一維陣列opt的空間優化沒那麼好理解，加一點註解。

01揹包狀態轉移方程：

\[\begin

opt[i][j] = \max(opt[i-1][j], opt[i-1][j-v_i] + w_i)

\end

\]對於zeroonepack函式的註解：

若外層正處於第i次迴圈，內層迴圈中，j逆序減小，計算opt[j]的值時，opt[j]、opt[j-cost]儲存都是i-1次迴圈的值，即分別對應於(1)式中的\(opt[i-1][j]\)、\(opt[i-1][j-v_i]\)。而如果j正序增大的話，計算opt[j]時，opt[j-cost]已經賦過值，儲存是i次迴圈的值，與狀態轉移方程不符。

完全揹包狀態轉移方程：

\[\begin

opt[i][j] = \max(opt[i-1][j], opt[i][j-v_i] + w_i)

\end

\]對於completapack函式的註解：

若外層正處於第i次迴圈，內層迴圈中，j正序增大，計算opt[j]的值時，opt[j]儲存的是i-1次迴圈的值，即對應(2)式中的\(opt[i - 1][j]\)。opt[j-cost]在本次迴圈中已經賦過值，儲存的是第i次迴圈的值，對應於(2)式中的\(opt[i][j-v_i]\)，與狀態轉移方程相符。opt[j] = std::max(opt[j], opt[j - cost] + weight)這個表示式表示，我正在考慮是否往揹包中加一件物品i，而\(opt[i][j-v_i]\)中可能已經包含了若干件物品i，現在考慮是否再增加物品i，所以這一點上可以反映完全揹包每種物品有無窮多的性質，也正是completepack正確的原因。

result: 700kb, 32ms

#include #include #include int cash, n;
int opt[100000 + 5];
void completapack(int cost, int weight) 
void zeroonepack(int cost, int weight) 
void multiplepack(int cost, int weight, int num) 
int k = 1;
while (k < num) 
zeroonepack(num * cost, num * weight);
return;
}int main() 
printf("%d\n", opt[cash]);
} return 0;
}

[1] 揹包問題九講 2.0

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