康托展開和逆康托展開

問題：給定的全排列，計算出它是第幾個排列？

對於全排列，不清楚的可以參考全排列

方法：康托展開

對於乙個長度為 n 的排列 num[1..n], 其序列號 x 為

x = a[1]*(n-1)! + a[2]*(n-2)! +...+ a[i]*(n-i)! +...+ a[n-1]*1! + a[n]*0!

其中a[i]表示在num[i+1..n]中比num[i]小的數的數量

cantor(num)

x = 0
for i = 1
.. n
tp = 0
for j = i + 1
.. n
if (num[j] 
tp = tp + 1
end if
end for
x = x + tp * (n - i)!end for
return x

//

給定乙個全排列， 計算它是第幾個排列
#include 
#include 
#include 
using
namespace
std;
//string 轉 int 
void strtonum(string s, int num[10])}
//輸出 
void pri(int num[10
]) cout 
<
階乘 int factorial(int
n) 
returnx;}
//康托展開 
int cantor(int num[10
]) }
x += tp*factorial(num[0]-i); 
}returnx;}
intmain()

問題：已知x，如何去反向求解出全排列？

方法： 逆康托展開

根據 康托展開的公式，可以推出

因為    a[i] <=  n-i

x = a[1]*(n-1)! + a[2]*(n-2)! +...+ a[i]*(n-i)! +...+ a[n-1]*1! + a[n]*0！
所以 a[i]*(n-i)! <= (n-i)(n-i)! <= (n-i+1)!

寫做偽**為：

uncantor(x):

a =num =
used = //
長度為n的boolean陣列，初始為false
for i = 1
.. n
a[i] = x / (n - i)!x = x mod (n - i)!cnt = 0
for j = 1
.. n
if (used[j]) then
cnt = cnt + 1
if (cnt == a[i] + 1
) then
num[i] =j
used[j] = true
break
end if
end if
end for
end for
return num

//

給定排列元素 num 陣列以及排列序號 x，求該排列
//排列從 0 開始 
#include #include 
#include 
#define inf 100000
using
namespace
std;
//string 轉 int 
void strtonum(string s, int num[10])}
//輸出 
void pri(int num[10
]) cout 
<
階乘 int factorial(int
n) 
returnx;}
//逆康托展開
void inversecantor(int num[10], int n, int
out[10
]) }
intmain() 

康托展開 康托逆展開

x a n n 1 a n 1 n 2 a i i 1 a 1 0 其中a i 為當前未出現的元素中是排在第幾個 從0開始 這就是康托展開。康托展開可用 實現。編輯 把乙個整數x展開成如下形式 x a n n 1 a n 1 n 2 a i i 1 a 2 1 a 1 0 其中a i 為當前未出現的...

康托展開 逆康托展開

康托展開 問題 給定的全排列，計算出它是第幾個排列 求序列號 方法 康托展開 對於乙個長度為 n 的排列 num 1 n 其序列號 x 為 x a 1 n i a 2 n 2 a i n i a n 1 1 a n 0 其中a i 表示在num i 1 n 中比num i 小的數的數量 includ...

康托展開 逆康托展開

用途 康托展開是一種雙射，用於排列和整數之間的對映，可用於排列的雜湊 康托展開 公式 i n1pi i 1 sum limits p i i 1 i n 1 pi i 1 其中p ip i pi 為第i ii個數構成的逆序的個數，n為排列數的個數 例 排列 2134 i n1pi i 1 sum l...