如何用高斯消元法求矩陣的逆？
如何判斷乙個矩陣是否有非零特徵值？
設 $a$ 是 $n$ 階方陣，則有 $a$ 有非零特徵值 $\iff$ $a \ne 0$ 。證明：
$a$ 沒有非零特徵值 $\iff$ $|\lambda i - a| = \lambda^n \iff (\lambda i - a) \sim \lambda i \iff a = 0$
（$\color}$：上述證明中，第二個 $\iff$ 不成立，兩個方陣特徵多項式相同並不能推出二者相似，第三個 $\iff$ 存疑）
$\forall a\in\mathbb r^$，$a^\mathrma$ 與 $aa^\mathrm$ 有相同的非零特徵值。
證明：設 $x$ 是 $a^\mathrma$ 的關於特徵值 $\lambda$ 的特徵向量，即
\[a^\mathrma x = \lambda x
\]兩邊同時左乘 $a$ 得
\[aa^\mathrm(ax) = \lambda (ax)
\]所以 $\lambda$ 也是 $aa^\mathrm$ 的特徵值。證畢。
$\forall a\in \mathbb^$，$a^}a$ 為半正定陣。\(\newcommand[1]}}\) \(\newcommand[2]\)
證明：首先，不難證明，$\forall a\in \mathbb^, b\in\mathbb^, (ab)^\mathrm = b^\mathrma^\mathrm$ 。
從而易見 $\zza$ 是對稱陣。
$\forall x\in\mathbb^$ 有 $\inprodax} = \zz x\zz aax = \zzax = \inprod \ge 0$ 。
所以 $\zz aa$ 是半正定陣。證畢。
設 $y_1, y_2, \dots, y_k \in\mathbb^$（$k\le n$）線性無關。設 $x\in\mathbb^$，則有
$x, y_1, y_2, \dots, y_k$ 線性相關 $\iff$ $x = \sum_ a_i y_i$，$a_i\in\mathbb$ 。
證明：對任意不全為 $0$ 的 $a_0, a_1, a_2, \dots, a_k\in\mathbb$ 使得
\[a_0 x + \sum_ a_i y_i = 0
\]有 $a_0\ne 0$，若不然則有 $\sum_ a_i y_i = 0$，且 $a_1, \dots, a_k$ 不全為 $0$；這與 $y_1, \dots, y_k$ 線性無關相矛盾。
矩陣樹定理證明
如果你不想看下面的證明，那麼只需要一句話 考慮生成樹的加邊過程，即為行列式求值過程。基爾霍夫矩陣 首先對於任意矩陣，若出現行或列的線性相關那麼行列值即為 0 由行列式定義顯然 定義對於無向圖 g v,e 的關聯矩陣 b 當 u i in v,v j in v,e k u i,v j in e 有 b...
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高階資料結構 1.字尾樹中的節點個數至多為2m 1，其中m為字串的長度。證明 由字尾樹的定義我們知道一共有m個葉節點，並且每個內部節點至少有2個孩子節點。假設總共有n個節點，則內部節點的個數為n m。於是，我們可以得到如下的不等式 2 n m 1 n 即n 2m 1。因此，字尾樹的壓縮儲存方式導致其...
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