在兩排序陣列中尋找第K小的數

題目：在兩個排序陣列中尋找第k小的數

舉例：arr1=[1,2,3,4,5],arr2=[3,4,5],k=1

1是所有數中第一小的數，所以返回1

arr1=[1,2,3],arr2=[3,4,5,6],k=4

3是所有數中第4小的數，所以返回3

要求：如果arr1的長度為n，arr2的長度為m,時間複雜度請達到o(log(min),額外空間複雜度為o(1)

思路：暴力解法坑定是將兩個陣列放到一起再進行排序，然後再找出第k個，但這樣的時間複雜度肯定超了，一看到logn,就想起肯定與二分查詢有關

看到這個題，我們先來看乙個稍簡單的同類的題，如下：

題目：在兩個長度相同的排序陣列中找到上中位數
給定兩個有序陣列arr1和arr2,已知兩個陣列的長度都為n，求兩個陣列中的所有數的上中位數
舉例：arr1=[1,2,3,4].arr2=[3,4,5,6
]總共有8個數，那麼上中位數是第4小的數，所以返回3
arr1=[0,1,2],arr2=[3,4,5
]總共有6個數，那麼上中位數是第3小的數，所以返回2
要求：時間複雜度o(logn),額外空間複雜度為o(
1)

先來分析一下這個題：根據時間複雜度的要求，我們首先利用二分的方式來尋找上中位數

1.假定兩陣列分別為arr1[start1,end1] 、arr2[start2,end2]

初始時，start1=0,end1=n-1;start2=0,end2=n-1.

2.如果srart1==end1,那麼也有start2==end2;

表明每個陣列內此時各只有乙個元素，總元素數為2，上中位數為其中較小的那個

所以直接返回 min(arr1[start1],arr2[start2]);

3.如果srart1!=end1,說明此時兩個陣列的長度均大於1，

則令 mid1=(start1+end1)/2 ;mid2=(start2+end2)/2 .來表示兩個陣列的中間位置

這個時候需要分情況討論了;

a.如果arr1[mid1]==arr2[mid2]時, 直接返回arr1[mid1]或arr2[mid2]

舉個例子來說明一下：

(1).當兩個陣列的長度都為奇數時

arr1= 、其中的a1表示第乙個數，a5表示第5個數，（不表示值）下同

arr2=

此時a3==b3，由於兩個陣列本身是有序的，在a3前面壓著2個數，在b3前面壓著2個數，所以a3,b3前面共壓了4個數，現在要求第5小的數(總共有10個數，故上中位數為5)，必然是a3或是b3,而a3==b3,所以直接返回這兩個數中任乙個即可,即返回arr1[mid1]

(2).當兩個陣列的長度都為偶數時

arr1=

arr2=

此時a2==b2，由於兩個陣列本身是有序的，在a2前面壓著1個數，在b2前面壓著1個數，所以a2,b2前面共壓了2個數，現在要求第4小的數(總共有8個數，故上中位數為4)，必然是a2或是b2,而a2==b2,所以直接返回這兩個數中任乙個即可,即返回arr1[mid1]

b.如果arr1[mid1] > arr2[mid2]時,

舉個例子來說明一下：

(1).當兩個陣列的長度都為奇數時

arr1= 、其中的a1表示第乙個數，a5表示第5個數，（不表示值）下同

arr2=

此時a3>b3,由於兩個陣列本身是有序的，在b3前面必然至少壓著2個數，而在a3前面至少壓著5個數（a1,a2,b1,b2,b3）,所以a3至少應該是第6個數起（因為已經知道前面有5個數肯定比它要小），後面的a4最好情況下也是第7個數起，再後面的a5也必然是大於5的，（因為此時陣列總長度為10，要尋找第5小的數），故此時對於arr1陣列，第5小數必然要在裡面找，而對於arr2陣列，b2 可能是第5小數嗎？不可能，因為在arr2陣列中b2 前只壓了1個數，在ar1陣列中，b2最多只能把2個數（a1,a2）壓在底下,所以b2最好情況下也只能是第4小數，而對於b1 ，由於壓得數更少所以跟不可能，所以從b3 開始才有可能是第5小數

由於兩陣列長度要保持一致，現在來看一下兩陣列中第5小數可能會出現的位置

現在我們來找一下這兩個新陣列的共同的上中位數，也就是這6個數中第3小的數記為a,這個a 代表啥？就是a在這兩段陣列中，會把2個數壓在下面，同時也自然會把原來的arr2陣列中的b1,b2壓在下面，所以a 正好就是第5小的數，也就是我們要求的結果，所以解決問題的方法就是對新的兩個陣列繼續求上中位數，具體做法就是，直接令 end1=mid1,start2=mid2,然後重複求解上中位數就行

(2).當兩個陣列的長度都為偶數時

arr1=

arr2=

此時a2>b2,由於兩個陣列本身是有序的,a2前面至少壓著3個數，所以a2可能是第4小的數，而對於後面的a3,前面都至少壓了4個數了，必然不是，後面的a4更不用看了，對於陣列arr2,b2最好前面也是只壓了2個數（a1,b1）,所以第4小數不可能是b2,更不可能是b1,

由於兩陣列長度要保持一致，現在來看一下兩陣列中第5小數可能會出現的位置

問題同樣轉化為了尋找新陣列的上中位數，所以令end1=mid1,start2=mid2+1.

c.如果arr1[mid1] < arr2[mid2]時,

分析方法與b是一樣的(就像b中兩陣列互換了下)

所以，陣列長為奇數時，令start1=mid1,end2=mid2

陣列長度為偶數時，令start1=mid1+1,end2=mid2,重複尋找上中位數就行

所以，我們可以給出整個演算法的**：

1
public
int getupmedian(int arr1,int
arr2)
5int start1=0;6
int end1=arr1.length-1;7
int start2=0;8
int end2=arr2.length-1;9
int mid1=0,mid2=0;10
int offset=0;//
用於判斷過程中陣列的長度的奇偶
11while(start1if(arr1[mid1]26return
math.min(arr1[start1],arr2[start2]);
27 }

現在我們來看一下頭先的那個題，即尋找第k小數

思路：我們先記

長度較短的陣列為shortarr,長度記為lens

長度較長的陣列記為longarr,長度記為lenl

假設shortarr長度為10，表示第乙個數、第2個數、...

假設longarr長度為27，表示第乙個數，...

1.當k<1或k>lens+lenl,則k無效

2.如果k<=lens.

那麼在shortarr中選前面k個數,在longarr中也選前面k個數

則兩段陣列的上中位數就是第k 小數（等價於轉化成了兩個長度相同的陣列的形式）

3.如果k>lenl

如一共有37個數，求第33小的數（33>lenl==27）

在中a5及a5以前的數都不可能是第33小的數，因為就算a5比b27都大，此時a5==32,所以不可能，a5前面的也不可能，對於a6，如果a6>b27,則a6必然是第33小的數，直接返回a6,否則a6不是。同理在中也必然不可能是第33小的數，因為b22最大也只能為22+10=32，所以應從b23開始找，只要b23>a10，則b23必然是第33小，否則b23也不是，如果a6和b23有乙個滿足條件，則可以直接返回，否則說明,都不可能是，應在,這兩個陣列裡找他們的上中位數

4.lens如求第17小的數

在中每個數都有可能

在中b6以前的數必然是不可能的，因為對於b6,最大也只為6+10=16，b18以後的也不可能是，因為他本身就是長陣列中的第18個了

所以長陣列變成了這11個數,如果此時b7>a10,則可以直接返回b7,否則b7不是

再求和上中位數，則為答案

實現**為：

1
public
int getupmedian(int arr1,int start1,int end1,int arr2,int start2,int
end2)else
if(arr1[mid1]19return
math.min(arr1[start1],arr2[start2]);20}
21public
int findkthnum(intarr1,intarr2,int
kth)
25if(kth<1||kth>arr1.length+arr2.length)
28intlongs=arr1.length>=arr2.length?arr1:arr2;
29intshorts=arr1.lengtharr1:arr2;
30int l=longs.length;
31int s=shorts.length;
32if(kth<=s)
35if(kth>l)
42if(longs[kth-s-1]>=shorts[s-1
])45
return getupmedian(shorts,0,s-l,longs,kth-s,kth-1
);46 }

參考：《程式設計師**面試指南》左程雲

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