二叉排序樹
1、二叉排序樹定義與描述：
二叉排序樹又稱為二叉查詢樹，它是一種特殊的二叉樹。
其定義為:二叉樹排序樹或者是一棵空樹， 或者是具有如」下性質的二叉樹:
(1)若它的左子樹非空，則左子樹.上所有結點的值均小於根結點的值;
(2)若它的右子樹非空，則右子樹上所有結點的值均大於(或大於等於)根結點的值;
(3)它的左右子樹也分別為二叉排序樹。
這是乙個遞迴定義。注意只要結點之間具有可比性即可，如下圖(a)中的數字值間的比較，圖(b)中是用單詞字元的ascii碼間的比較。
結構描述：
typedef struct node
bstnode, *bstree;
2.二叉排序樹的建立
假若給定乙個元素序列，我們可以利用逐個插入結點演算法建立一棵二 叉排序樹。因此，實現建立二叉排序樹包括建立樹與插入結點兩個演算法。
[演算法思想]:
首先，將二叉樹序樹初始化為一棵空樹，然後逐個讀入元素，每讀入乙個元素，就建立乙個新的結點，並插
入到當前已生成的二叉排序樹中，即通過多次呼叫二叉排序樹的插入新結點的演算法實現，注意插入時比較結點
的順序始終是從二叉排序樹的根結點開始。
①二叉排序樹的插入
已知乙個關鍵字值為key的結點s，若將其插入到二叉排序樹中，只要保證插入後仍符合二叉排序樹的定義即可。
[演算法思想]:
1)若二叉排序樹是空樹，則key成為二叉排序樹的根;
2)若二叉排序樹非空，則將key與二叉排序樹的根進行比較:
a)如果key的值等於根結點的值，則停止插入;
b)如果key的值小於根結點的值，則將key插入左子樹;
c)如果key的值大於根結點的值，則將key插入右子樹。
例如，設關鍵字的輸入順序為: 45，24，53，12，28，90，按上述演算法生成的二叉排序樹的過程如下圖所示。
實現**：
void insertbst(bstree *bst, keytype key)
/*若在二叉排序樹bst中不存在關鍵字等於key的元素，插入該元素*/
void createbst(bstree *bst)
/*從鍵盤輸入元素的值，建立相應的二叉排序樹*/
}假設共有n個元素，要插入n個結點需要n次插入操作，而插入乙個結點的演算法時間複雜度為0(log2n)，因此建立二叉排序樹的演算法時間複雜度為o(nlog2n)。
如果輸入順序為24， 53， 90， 12， 28，45，則生成的二叉排序樹如下圖所示:
3.二叉排序樹的查詢
二叉排序樹的特性:根據二叉排序樹的定義(左子樹小於根結點，右子樹大於根結點),根據二叉樹中序遍歷的定義(先中序遍歷左子樹，訪問根結點，再中序遍歷右子樹)，可以得出二叉排序樹的一乙個重要性質，
中序遍歷乙個二叉排序樹，可以得到乙個遞增有序序列。
如圖所示的二叉樹就是一棵二叉排序樹，若中序遍歷下圖的二叉排序樹，則可得到乙個遞增有序序列為:1，2, 3，4，5，6，7 ,8，9。
二叉排序樹查詢的實現方法:
因為二叉排序樹可看作是乙個有序表，所以在二叉排序樹上進行查詢，和折半查詢類似，也是乙個逐步縮小查詢範圍的過程。
首先將待查關鍵字k與根結點關鍵字t進行比較，如果:.
1) k= t: 則返回根結點位址;
2) kt: 則進一步查右子樹。
根據二叉排序樹的定義，在二叉排序樹結構上查詢可以用遞迴與非遞迴兩種實現演算法。
1.二叉排序樹查詢的遞迴演算法
bstree searchbst(bstree bst, keytype key)
/*在根指標bst所指二叉排序樹中，遞迴查詢某關鍵字等於key的元素，若查詢成功，返回
指向該元素結點指標，否則返回空指標*/
if (!bst) retum null;
else if (bst->key == key) retun bst;/*查詢成功*/
else
if (bst->key> key)
retum searchbst(bst->lchild, key);/*在左子樹繼續查詢*/
else
returm searchbst(bst->rchild, key);/*在右子樹繼續查詢*/
}2.二叉排序樹查詢的非遞迴演算法
根據二叉排序樹定義，其查詢也可以用迴圈方式直接實現。
二叉排序樹的非遞迴查詢過程如下:
bstree searchbst(bstree bst, keytype key)
/*在根指標bst所指二叉排序樹bst.上，查詢關鍵字等於key的結點，若查詢成功，返回指向該元素結點指標，否則返回空指標*/
/* searchbst*/
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