最好請查閱關於opengl與d3d中投影矩陣推導的相關部落格，再看此篇。（主要是記錄給自己看,幫助理解，以供以後修正優化，舉一反三之用，所以會有晦澀或者不詳細之處，請諒解，如果能幫助到正好需要的小夥伴那就更好了，自己也是圖形學的初學者，歡迎交流和指正）。
d3d中 投影矩陣的推導：
opengl學習腳印: 投影矩陣的推導 ：
兩者都是關於投影矩陣的推導思路和相關公式，區別是乙個是opengl版本乙個是d3d版本，具體差別是兩者的預設座標系（前者中的眼座標系）不同（opengl是右手座標系，d3d是左手座標系），歸一化裝置座標系（兩者都是右手座標系，所以數值中帶負號的一般是opengl的投影矩陣，不帶的就是d3d（其實這麼說，很不完善。），兩篇文章中都用列矩陣來表述投影矩陣，這點要注意）大小不同（主要是z值的範圍不同，opgl版本中稱為ndc（normalized device coordination），d3d版本中稱為規範視域體(canonical view volume)），所以就導致最後的成像投影矩陣略有差別（原理和過程其實相似，表述的差別而已）。
對了，插乙個概念，由於投影變換，是與攝像頭的方位都有關係的（設想乙個旋轉或者平移的攝像機，它所呈獻的畫面肯定是變化的），而這與投影矩陣沒有關係，因為投影矩陣把這些條件先確定下來（比如始終位於原點，方向始終是z軸平行（opengl中是z軸負方向，d3d中是z軸正方向））。而比如攝像機的方位對於最後成像的影響，在此投影矩陣得出後，再叉乘該攝像機方位矩陣，就可以了。（其實就是成像先後的關係和矩陣的相互關係思考清楚就可以了，投影矩陣是確定視椎體後的固有屬性，與攝像機的方位無關，與成像有關。又可以說投影矩陣其實就是確認視椎體的形狀，大小與ndc形狀之間的對應關係而已。）
但是這邊特地給出兩個版本的鏈結，並不是要畫蛇添足的介紹兩次。其實是兩者的推導略有不同。或者詳略各有差異，結合來看才能更清楚，投影矩陣的原理和推導的過程。
推薦先看d3d版本的推導，因為其中先介紹了正交投影（orthographic projection）的推導過程及原理。正交投影就是將裁剪後的視域（稱為view volume）座標轉換到ndc中，就是兩個變換——平移（使得原點重合）和縮放（使得大小相同），由於是平移和縮放，變換順序可以交換（矩陣叉乘的順序是不能隨便變換的，此處特殊（由矩陣叉乘的特性來決定的，詳細的解釋可以查閱相關資料））。
投影矩陣的推導原理，這邊也要解釋下這兩篇文章沒有詳細說明的地方，就是通過射線投影的原理得到近介面的對應點，但是此近截面上的點並不是最後ndc中的最後目標點，但是可以根據此點的x，y座標得到最後目標點的x，y座標與原始x與y的關係，但是因為近截面的z值始終是n，也就是捨棄了沿著投影原點射出的射線上的z值，要理清這個概念，那z值的對應關係怎麼確認呢，就是通過齊次變化中的w值，來做減維處理（具體看opengl那篇文章，說的明白些，推薦結合3d基礎數學：圖形與遊戲開發中的投影變換來理解）。（再插一句，就是要理解任何乙個維度的點，都可以用更高維度的形式去表示，簡單來說比如二維空間中的a點（x，y）到三維空間中就可以表示（x，y，1），可以理解為投射到z=1平面上的點（（x，y，1）投影到z=1平面不就是它本身麼？擴充套件開來說（x*z，y*z,z）這個集合裡的點投影到z=1的平面上時，都與（x，y，1）重合，也就可以說是同一點。所以以此來理解4維甚至更高維度的現象（其實，我也很難想象更高維度的具體表現，我覺得是無法用這種3維座標系表示圖去展示4維甚至更高維投影到低維的表現，但是可以從數學層面去推。）同理，3維空間中的（x,y,z）點就是4維空間中的（x，y，z，1）點，也就是和（x*w，y*w，z*w，w）點關於w=1的平面上的投影點重合（其實這麼說不對，應該說是w=1的3d座標系重合）。這也是下面推導的思考基礎。））
通過相似三角形原理和正交投影的公式和推導過程我們知道了
，那怎麼消除z值呢？怎麼得到z'與z的關係呢？（這裡暫時都用d3d公式）
貌似想不出來，只能按照文章中的方法，試圖去求z'z的值，然後通過（x'z，y'z,z'z,z）投影到w = 1 的3d座標系中不就是（x',y',z',1）該點麼。該投影過程就是降維過程，也就是齊次變換。
那現在的問題就是怎麼求得（x,y,z,1）到（x'z,y'z,z'z,z）的變換矩陣了。這就是透視投影矩陣~！
然後就是文章中的，根據
先求的這個4x4矩陣的第一行，第二行（列向量），也就是[2n/(r-l),0,-(r+l)/(r-l),0]和[2n/(t-b),0,-(t+b)/(t-b),0].
然後第四行的[a4,b4,c4,d4]*[x,y,z,1] = z,因此第四行為[0,0,1,0]
那麼只剩第三行[a3,b3,c3,d3]求值了。a3*x+b3*y+c3*z+d3 = z'z;其實x，y的值不能影響到z'與z的對應關係，所以其對應係數就應該是0，所以變成 c3*z+d3 = z'z，轉成z『=c3+d3/z；發現兩者原來是倒數關係。（這也是z-fighting的原因，當然了只要精度足夠大就沒有z-fighting問題，但是問題就是浮點數的精度是有限制的。）然後帶入兩對已知值，z』=ndc中的最小值時，z也是近介面上的值，即z'=0，z=n。z』=ndc的最大值時，z也是遠截面上的值，即z『=1，z=f；
求得 第三行就是[0,0,f/(f-n),-fn/(f-n)]
因此
別忘了將結果做其次變換後得到（x』,y',z',1）;
OpenGL 投影矩陣的推導
計算機顯示器是乙個2d平面。opengl渲染的3d場景必須以2d影象方式投影到計算機螢幕上。gl projection矩陣用於該投影變換。首先，它將所有定點資料從觀察座標轉換到裁減座標。接著，這些裁減座標通過除以w分量的方式轉換到歸一化裝置座標 ndc 本文主要推導正交投影矩陣和透視投影矩陣。注意n...
透視投影矩陣的構建
投影矩陣最終建立的是乙個平截頭體 也可以稱為臺 在這種變換下呈現遠小近大的效果。這裡我將我學到知識記錄下來，以後備忘用。首先是使用opengl的glfrustum函式，它要求傳入的是前後 左右 上下等引數，這要求這個平截頭體是軸對稱的。由它構成的矩陣是為 如果我們使用的不是glfrustum，而是g...
3D 投影矩陣學習1
先看一下名詞 在矩陣數學中，也有乙個名詞叫投影矩陣，其定義為 若矩陣a既是對稱矩陣，又是冪等矩陣，則稱a為投影矩陣。這裡說的是3d世界中的投影矩陣 其作用是幫助把3d物體顯示在2維計算機平面。什麼是投影 計算機顯示器是乙個二維表面，所以如果你想顯示三維影象，你需要一種方法把3d幾何體轉換成一種可作為...