原 概率論 第一章第2節

2022-08-05 18:18:13 字數 766 閱讀 3059

一 事件域

事件域的定義:設$\omega$為一樣本空間,$\mathcal$為$\omega$的某些子集所組成的集合類,如果$\mathcal$滿足:

$\omega \in \mathcal$;

若$a \in \mathcal$,則對立事件$\overline a \in \mathcal$;

若$a_n \in \mathcal,\quad n=1,2,\cdots$,則可列並$\bigcup\limits_^ a_n \in \mathcal$。

我們稱$\mathcal$為一個事件域,又稱為$\sigma$代數。

例1 常見的事件域:

二 概率的公理化定義

設$\omega$為一個樣本空間,$\mathcal$為$\omega$的某些子集組成的一個事件域。如果對任一事件$a \in \mathcal$,定義在$\mathcal$上的一個實值函式$p(a)$滿足:

非負性公理:若$a \in \mathcal$,則$p(a)\ge 0$;

正則性公理:$p(\omega)=1$;

可列可加性公理:若$a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$互不相容,有$$p(\bigcup\limits_^ a_i)=\sum \limits_^ p(a_i)$$

則稱$p(a)$為事件$a$的概率,稱三元素$(\omega,\mathcal,\mathcal)$為概率空間。

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