武漢大學2023年數學分析試題解答

一：計算題

1.$\underset^}}}\,\ln x\ln \left( 1-x \right)=-\underset^}}}\,x\ln x=\underset^}}}\,\frac}}=\underset}\,\frac=0$

2.原極限$=\underset}\,^}\left( 1-\sqrt \right)\cdots \left( 1-\sqrt[n] \right)$

$=\underset}\,^}^}\frac^}=\frac^}}$

3.$\frac=\frac^}+1}$

$\frac^}y}^}}=\frac^}+1 \right)-6t\cos t}^}+1 \right)}^}}}^}+1}=-\frac^}+1 \right)+6t\cos t}^}+1 \right)}^}}$

4.$^}\left( x \right)=^}+^} \right)}^}}^}\sin \left( bx+n\arctan \frac \right)$

5.$\underset}\,\sum\limits_^^}}^}+^}}}=\underset}\,\frac\sum\limits_^^}} \right)}^}}}=\underset}\,\int_^^}}}=\int_^^}}}=\frac$

二：證明：

由於$\underset^}}}\,\sqrt'\left( x \right)=a$，可知：$\exists m>0,\delta >0\left( <<1 \right),\forall x\in \left( 0,\delta \right],$均有

$\left| \sqrt'\left( x \right) \right|\le m$

故對$\forall _},_}\in \left( 0,\delta \right], $則存在$_}\in \left( 0,\delta \right] $，有

$\frac_} \right)-f\left( _} \right)}_}}-\sqrt_}}}=2\sqrt_}}'\left( _} \right) $

即$\left| f\left( _} \right)-f\left( _} \right) \right|\le 2m\left| \sqrt_}}-\sqrt_}} \right|\le 2m\sqrt_}-_} \right|}$

從而可知，對$\forall \varepsilon >0\left( \right)}^}<<\delta \right),\forall _},_}\in \left( 0,\delta \right] $，且$\left| _}-_} \right|<\left( \frac \right) $有

$\left| f\left( _} \right)-f\left( _} \right) \right|<\varepsilon $

故$f\left( x \right) $在$\left( 0,\delta \right] $上一致收斂

而$f(x)$在$[\delta ,1]$上連續，則$f\left( x \right) $在$[\delta ,1]$上一致收斂

於是$f\left( x \right) $在$(0,1]$上一致收斂

三：證明：由分析可知$\exists _}\in \left[ a,b \right],m>0,\forall x\in \left[ a,b \right],0從而知$^^}dx} \right)}^}}\le m^}}$不妨設$_}\in \left( a,b \right)$，則

$\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\left( _}-\delta ,_}+\delta \right)\subseteq \left[ a,b \right]$，且$\forall x\in \left( _}-\delta ,_}+\delta \right),f\left( x \right)\ge m-\varepsilon $ ，從而

$^^}dx} \right)}^}}\ge _}-\delta }^_}+\delta }^}dx} \right)}^}}\ge ^}}\left( m-\varepsilon \right)$，從而

$m-\varepsilon \le \underset}\,^^}dx} \right)}^}}\le m$，由於$\varepsilon $任意性，即$\underset}\,^^}dx} \right)}^}}=m$，即$\underset}\,^^}dx} \right)}^}}=\underset}\,f\left( x \right)$

四：證明：

1.由於$\left| ^}\cos ^}x \right|\le \left| ^} \right|$，而級數$\sum\limits_^^}}$收斂，從而可知函式項級數$\sum\limits_^^}}\cos \left( ^}x \right)$在$\left( -\infty ,+\infty \right)$上一致收斂

2.$\forall k\in }^}$，$\sum\limits_^^}}\frac^}\left( \cos \left( ^}x \right) \right)}^}}=\sum\limits_^^}}^}\cos \left( ^}x+\frac \right)$，

而$\left| ^}^}\cos \left( ^}x+\frac \right) \right|\le ^}^}$，而級數$\sum\limits_^^}}^}$收斂，從而可知函式項級數$\sum\limits_^^}}\frac^}\left( \cos \left( ^}x \right) \right)}^}}$在$\left( -\infty ,+\infty \right)$上一致收斂，由於$k$的任意性

$\sum\limits_^^}}\frac^}\left( \cos \left( ^}x \right) \right)}^}}\left( k=1,2,\cdots \right)$在$\left( -\infty ,+\infty \right)$上一致收斂

3.由分析可知$^}\left( 0 \right)=^}\sum\limits_^^}^}},^}\left( 0 \right)=0$，從而可知$f\left( x \right)$在$x=0$的

$taylor$級數為$\sum\limits_^^}\sum\limits_^^}^}}}}^}$

4.由於

$\sqrt[2k]^}\sum\limits_^^}^}}} \right|}\ge \sqrt[2k]^}^}} \right|}\ge \frac\to +\infty $從而可知$f\left( x \right)$在

$x=0$的$taylor$級數為$\sum\limits_^^}\sum\limits_^^}^}}}}^}$

於是對$\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,$對任意的$x',x''\in [a,b]$，當$\left| x'-x'' \right|<\delta $時，有

\[\left| f(x')-f(x'') \right|<\frac\]

於是將$[a,b]$區間$k$等分，$a=_}<_}<\cdots <_}=b$，使得$\frac<\delta $

且$\delta _}=_}-_}=\frac$，$i=1,2,\cdots ,k$於是有$\left| f(_})-f(_}) \right|<\frac$

同時對任意的$x\in [_},_}]$，有$\left| f(x)-f(_}) \right|<\frac,\left| f(x)-f(_1}}) \right|<\frac$

又由於$\underset}\,_}(_})=f(_})\rightarrow \exists _}>0$，當$n>_}$時有$\left| _}(_})-f(_}) \right|<\frac$，其中$i=1,2,\cdots ,k$

於是令$n=\max \_},_},\cdots ,_}\}$，對任意的$x\in [_},_}]$，當$n>n$時有

$\left| _}(_})-f(x) \right|\le \left| _}(_})-f(_}) \right|+\left| f(_})-f(x) \right|<\varepsilon $

對任意的$x\in [a,b]$，必有$x\in [_},_}]$，$i=1,2,\cdots ,k$，當$n>n$時，有$f(x)$的單調性知：\[\left| _}(x)-f(x) \right|\le \max \_}(_})-f(x) \right|\left| _}(_})-f(x) \right|\text\!\!\}\!\!\text\varepsilon \]

於是$\_}(x)\}$在$[a,b]$上一致收斂於$f(x)$

六：解：1.由分析可知

$\frac=y\frac,\frac=x\frac+z\frac,\frac=y\frac$

顯然有$x\frac+z\frac=y\frac$

2.如果$f\left( _},\cdots ,_} \right)$是具有連續偏導數的多元函式，則原偏微分方程的完全積分為

$w=f\left( _}y,\cdots ,_}y \right)$

七：證明：

$'\left( t \right)=2t\int_^}-t}^^}+t}^}-^}+^} \right)dy}+\int_^^}}^}+^}-^} \right]-\sin \left[ ^}+^}-^} \right] \right)dx-}$

$\int_^^}}\int_^^}+^}-^} \right)}dy$

八：解：由分析可知

$i=\iiint\limits_^}+^}} \right)}dxdydz$

$=\int_^}\int_^\int_^^}\sin \theta d\varphi $

$=2\pi \frac^}-^}}\left( \frac-\frac+\frac \right)=\frac^}^}}$

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