四川大學2023年數學分析考研試題

一、(15分)設$\displaystyle x_>0,x_=\frac)}}(n=1,2,\cdot \cdot \cdot)$,證明:$x_$有極限,並求出極限值.

二、(15分) 設$y=f(x)$在$\displaystyle [0,+\infty)$一致連續,對任意$\displaystyle x\in[0,1],\lim\limits_(x+n)=0$,($n$為正整數),

證明:$\displaystyle \lim\limits_f(x)=0$.

三、(每小題10分,共20分) 設在$[a,b]$上,有$f''(x)>0$,證明:

1.對任何$x_,x\in[a,b]$,有$\displaystyle \displaystyle f(x)\ge f(x_)+f'(x-)(x-x_)$

2.對任何$x_,x_,\cdot \cdot\cdot,x_\in[a,b]$,有$\displaystyle f\left(\frac\sum\limits_^x_\right)\le\frac\sum\limits_^f(x_)$

四、(15分) 設$y=f(x)$在$[a,b]$有連續導數且$f(a)=0$,證明:$$ m^\le (b-a)\int_^[f'(x)]^dx$$

其中$\displaystyle m=\sup\limits_\left| f(x)\right|$.

五、(10分) 設$f(x,y)$為$n$次齊次函式,即滿足:對任意$\displaystyle t>0,f(tx,ty)=t^f(x,y)$,且$f$可微,證明在$(x,y)\not =(0,0)$處有

$$ x\frac+y\frac=nf$$

六、設$g(x)$在$[0,1]$上連續.作$\displaystyle f_(x)=g(x)x^$,證明:$\displaystyle \(x) \}$在$[0,1]$上一致收斂.

七、計算積分 $\displaystyle \int_(x^-yz)dx+(y^-xz)dy+(z^-xy)dz$此積分是從點$a(a,0,0)$至點$b(a,0,h)$沿螺線$\displaystyle x=a\cos \theta $、

$\displaystyle y=a\sin \theta $、$\displaystyle z=a\frac \theta $上所取的.