矩陣翻硬幣

2022-08-13 10:45:15 字數 2599 閱讀 1144

**: **略有改動

問題描述

小明先把硬幣擺成了乙個 n 行 m 列的矩陣。

隨後,小明對每乙個硬幣分別進行一次 q 操作。

對第x行第y列的硬幣進行 q 操作的定義:將所有第 i*x 行,第 j*y 列的硬幣進行翻轉。

其中i和j為任意使操作可行的正整數,行號和列號都是從1開始。

當小明對所有硬幣都進行了一次 q 操作後,他發現了乙個奇蹟——所有硬幣均為正面朝上。

小明想知道最開始有多少枚硬幣是反面朝上的。於是,他向他的好朋友小m尋求幫助。

聰明的小m告訴小明,只需要對所有硬幣再進行一次q操作,即可恢復到最開始的狀態。然而小明很懶,不願意照做。於是小明希望你給出他更好的方法。幫他計算出答案。

輸入格式

輸入資料報含一行,兩個正整數 n m,含義見題目描述。

輸出格式

輸出乙個正整數,表示最開始有多少枚硬幣是反面朝上的。

樣例輸入

2 3樣例輸出

1資料規模和約定

對於10%的資料,n、m <= 10^3;

對於20%的資料,n、m <= 10^7;

對於40%的資料,n、m <= 10^15;

對於10%的資料,n、m <= 10^1000(10的1000次方)。

基本思路:

這種方法很麻煩,小資料還能應付,像題目中要求有1000位數,根本不可能,所以有必要另避蹊徑。從簡單到複雜,慢慢分析,看有什麼規律:

先看 n = 1 的情況:對於(1 , m),只要看它翻轉的次數奇偶就能確定它最終的狀態。因為 x = 1, 每次第一行都要參與翻轉,當 y 能整除 m 的時候,(1 , m)會翻轉,(1 , m)全過程翻轉的次數取決於 m 的約數個數,1 的約數個數為1 , 3 的約數個數為2, 5 的約數個數為2, 9 的約數個數為3。當 m = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 其約數個數為奇數,否則 其約數個數為偶數。 因為一般數約數都是成對出現,而乙個數的平方數,有兩個約數相等。

所以,最後(1 , m) m = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 最終狀態為0,其他則為1。

而最後0的個數總和 count = sqrt(m) , 取整。

再來看一般情況:(n , m)最後狀態是什麼?現在行的變化也是它翻轉的因素。從上面容易推出,當m確定後,他的翻轉次數為 n 的約數個數。而(n , m)翻轉的次數 = (n的約數個數 * m的約數個數)。剛才分析了,只有在(n , m)翻轉的次數為奇數時 它的最終狀態為 0。而只有 奇數*奇數 = 奇數,所以n ,m的約數個數必須為奇數,即: n = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 且  m = j^2 (j = 1 ,2 ,3···)。

最後得出結論:

對於n行m列矩陣,經過 q 操作後 反面的次數 count = sqrt(n) * sqrt(m) ,(取整後再相乘)。

終於是找到了公式,可是又有了新的難題,怎麼對1000位數開方呢?這裡先給出定理:

假設位數為len的整數,開方取整後為乙個lensqrt位數。

當len為偶數,lensqrt = len / 2 .

當len為奇數,lensqrt = (len / 2) + 1 .

證明很簡單,這裡就不證了。

現在就簡單了,位數確定了從高位到低位一位一位地確定。比如:sqrt(1028) ,表示對1028開方取整

它開方取整後兩位數.先看第一位:

取 0, 00 * 00 < 1028  所以sqrt(1028) > 00

取 1, 10 * 10 < 1028  所以sqrt(1028) > 10

取 2, 20 * 20 < 1028  所以sqrt(1028) > 20

取 3, 30 * 30 < 1028  所以sqrt(1028) > 30

取 4, 40 * 40 > 1028  所以sqrt(1028) < 40 , 所以第一位取 3 。

第二位:

取 0,  30 * 30 < 1028  所以sqrt(1028) > 30

取 1,  31 * 31 < 1028  所以sqrt(1028) > 31

取 2,  32 * 32 < 1028  所以sqrt(1028) > 32

取 3,  33 * 33 > 1028  所以sqrt(1028) < 33 , 所以sqrt(1028) = 32 。

大數是一樣的道理,只不過大數用字串儲存,字串相乘也要自己來實現。

**如下:

#include#includeusing namespace std;

string strmul(string str1,string str2);

string ans="";

for(int i=0;i=0;k--)

}for(;k>=0;k--)

return ans;

}int compare(string str1,string str2,int pos)else if(len1+posstr2[i])

}return 0;

}}string strsqrt(string s)else

string ans="";

string tmp="";

for(int i=0;i>n>>m;

cout

}

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