定義：
2d單應：給定影象$\mathbb^$中的特徵點集$\mathbf_i$和另一幅影象在$\mathbb^$ 中對應的特徵點集$\mathbf_^$， 將$\mathbf_i$對映到$\mathbf^_$的射影變換。在實際情況中，點$\mathbf_$和$\mathbf^_$是兩幅影象上的點，每幅影象都視為一張射影平面$\mathbb^$
$\mathbf^_=h\mathbf_$
方法：直接線性變換dlt演算法
我們首先討論由給定 2d 到 2d 的四組點對應$ x_ \leftrightarrow x_^$,確定h的一種簡單的方法是線性演算法$x^_=hx_$，這是乙個齊次方程,所以$\mathbf_^ $和$h\mathbf^$不相等,它們有相同的方向,但是在大小上相差乙個非零因子.
使用叉乘表示: $\mathbf_^h\mathbf_=0$
將矩陣h的第j行記為$\mathbf^$得
$$h \mathbf_1=\begin\mathbf^ \mathbf_ \\ \mathbf^ \mathbf_ \\ \mathbf^ \mathbf_ \\ \end$$
$\mathbf$ 預設是列排列
記$x_1=\beginu_1&v_1&1\end^t$ , $x_2=\beginu_2&v_2&1\end^t$
其中 $x_2^=\begin0&-1&v_2\\1&0&-u_2\\-v_1&u_2&0\end$
叉乘表示: $\mathbf_^h\mathbf^_=0=\beginv_2\mathbf^ \mathbf_- \mathbf^ \mathbf_ \\\mathbf^ \mathbf_-u_2\mathbf^ \mathbf_ \\u_2\mathbf^ \mathbf_-v_2\mathbf^ \mathbf_ \\ \end$
將h 抽出為八行向量得 a$\bf$=0;
$$\begin\mathbf^&-\mathbf^_&u_\mathbf^_ \\\mathbf^_ &\mathbf^&-v_\mathbf^_\\v_\mathbf^_&u_\mathbf^_&\mathbf^\\\end \begin \mathbf^ \\\mathbf^ \\\mathbf^ \end=0$$
上式雖然有三個方程但是只有兩個是線性無關的,所以每對點可以取出兩個方程;
$$\begin\mathbf^&-\mathbf^_&u_\mathbf^_ \\\mathbf^_ &\mathbf^&-v_\mathbf^_\end \begin \mathbf^ \\\mathbf^ \\\mathbf^ \end=0$$
a是2x9矩陣,四組點後a為8x9
求解h
h是自由度為8的矩陣. 每對點得到兩個關於h元素的兩個線性無關的方程,給定四組點得到八個方程即可得到h. 由於a為8x9秩為八,因此a僅有一維零空間,從而存在只相差乙個非零因子意義下的解h.但是單應矩陣h只能夠確定到相差乙個尺度,因此可以通過範數來對h元素進行選擇 如||$\mathbf$||=1.
超定解
若給出的點$\mathbf_$和$\mathbf^_$ 多於四對,方程$a\mathbf=0&是超定的.
(1) 如果不存在雜訊,那麼a的秩為八且有一維零空間,並且存在精確解$\bf$.
(2)如果存在雜訊,那麼方程除零解外不存在精確解,但是可以試圖尋找近似解,該解是$a^a$的最小特徵值對應的單位特徵向量,即該解是a最小奇異值的單位向量.
**
/** * @brief 從特徵點匹配求homography（normalized dlt）
* * @param vp1 歸一化後的點, in reference frame
* @param vp2 歸一化後的點, in current frame
* @return 單應矩陣
* @see multiple view geometry in computer vision - algorithm 4.2 p109 */
cv::mat initializer::computeh21(
const vector&vp1, const vector&vp2)
cv::mat u, w, vt;
cv::svdecomp(a, w, u, vt, cv::svd::modify_a |cv::svd::full_uv);
return vt.row(8).reshape(0, 3); //
vt的最後一行 即v的最後一列
}
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