譜方法(spectral method)是配點法(collocation method)的一種。一般來說，配點法包括有限元方法(finite element)和譜方法(spectral method)。配點法的一般思路是：選取合適的函式基底，這些函式基底的導數都是已知的，求得疊加係數，將這些函式基底的組合作為邊界條件下常微分方程的近似解。其中，有限元方法選用的函式基底是局域的(localized support)，即這些基底往往只在區域性幾個點處非零，比如b-樣條；而譜方法選用的函式基底是全域的(global support)，即這些基底在整個實數域上大部分非零，比如多項式和三角函式。
對於乙個線性常係數的常微分方程，一般都可以求得解析解的；但是對於線性但非常係數的情形，解析解不容易求。有的可以用特殊的換元方法（比如尤拉方程），有的必須用泰勒級數或者洛朗級數展開的方法求解，這種解一般也不會是初等函式，而是特殊函式/無窮級數這一類。不過只要是線性方程，使用譜方法求解總能化成線性方程組，因此特別簡單。具體地說：
1. 線性常微分方程邊值問題+以多項式為基底的譜方法
常微分方程：$f(y^, y^, ..., y^, y'', y',y, t)=0$ ，其中 $f$ 關於 $y$ 的任意階的導數都是線性的，即所有導數（包括零階的原函式）的冪次都是1，所有項的次數也都是1。像這樣的線性形式，我們或者也可以寫成：$a_m(t)y^+a_(t)y^+...+a_2(t)y''+a_1(t)y'+a_0(t)y+a(t)=0$ 。
如果選擇在兩個上下界之中插入k個點進行配點，則總計配點個數為k+2=n，我們預計用這n個點的資訊產生n個方程，此時可以確定含有n個未定引數的解析式，因此設：$\hat(t)=x_0+x_1t+x_2t^2+...+x_t^$ ，並用它作為 $y(t)$ 的估計值。這樣一來，$\hat(t)$ 的任意階導數總是很容易求得的，它就是： $$\hat^(t)=\sum\limits_^p_i^kx_it^=\sum\limits_^\fracx_it^$$ 以上僅僅是乙個最一般的表示式，事實上在使用過程中非常高階的導數是很罕見的（至少在絕大多數物理問題中），最高端為2是最為常見的，這些情形下 $y(t)$ 的導數的表示式都很簡單。
現在，我們擁有了可以求任意階導數的估計值 $\hat(t)$ 的表示式，其中有n個未定引數 $x_i$ ，我們設上下界分別是 $t_1$ 和 $t_n$ ，然後可以在區間內選取n-2個點 $t_2, t_3, ..., t_$ 。我們將用這n個點（配點）和 估計值$\hat(t)$ 的表示式，將線性的微分方程寫成乙個線性的代數方程。我們記：
$$f(y^, ... y'', y', y, t)=0\quad \rightarrow \quad a_m(t)\hat^(t)+...a_2(t)\hat''(t)+a_1(t)\hat'(t)+a_0(t)\hat(t)+a(t)=\sum\limits_^ma_k(t)\hat^(t)+a(t)=0$$ 只需要在n個配點上分別把 $t=t_i$ 和 $\hat^(t)$ 的導數形式帶入方程就可以了。我們得到：
$$\sum\limits_^ma_k(t)\hat^(t)+a(t)=\sum\limits_^ma_k(t)\sum\limits_^p_j^kx_jt^=\sum\limits_^m\sum\limits_^x_ja_k(t)p_j^kt^=0$$ 代入n個配點$t_i$ 就得到了關於 $x_j$ 的線性方程組：$$\sum\limits_^m\sum\limits_^a_k(t_i)p_j^kt_i^x_j=0$$ 這裡除了 $x_j$ 以外，其他所有資料都是已知量（或者可以直接求出）；同時關於 $x_j$ 均為一次關係，為關於 $x_j$ 的線性方程組。利用解線性方程組的方法求得 $x_j$ 後，就可以得到關於t的微分方程解的估計值表示式：$$\hat(t)=\sum\limits_^nx_kt^k$$
當然，譜方法主要用於求解偏微分方程。
常微分方程
微分方程這裡，感覺難度明顯上來了。核心思路，消去微分 分離變數法，想方設法分離變數 齊次微分方程 對於無法直接分離變數的方程，如果是y和x的次數一樣，並且不含常數項。可以可以化為齊次，變數代換求解 一階線性微分方程 常數變易法。常數變易法我覺得關鍵是變和易，因為先當作乙個常數0，是比較容易解決的。然...
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常微分方程數值解上機
二步顯式 adams 法和gear 法求解，y 0 1,步長分別為h 0.1和h 0.05 1.程式文字 二步顯式 adams法 clc y 1 1 h 0.1 y 2 y 1 2 h y 1 3 h n 1 h fori 2 n y i 1 y i 3 h y i h y i 1 3 h endt...