DTOJ 2768 圓圈遊戲（circle）

【題目描述】

在無聊的時候，小 $k$ 和小 $h$ 會在紙上玩這樣乙個遊戲。

我們可以將紙看做乙個平面直角座標系。小 $h$ 會先在上面畫出 $n$ 個圓，並把每個圓的圓心以及半徑都告訴小 $k$。小 $h$ 畫的 $n$ 個圓中，任意兩個圓不會出現相交或相切的情況。小 $k$ 需要做的就是從這 $n$ 個圓中選出若干個圓，使得選出的任意乙個圓都不被另乙個選出的圓包含。遊戲的目標就是要選出盡量多的圓。

遊戲一次一次進行著，小 $k$ 已經對遊戲的規則感到了厭倦，所以他決定修改遊戲的規則。對於第 $i$ 個圓，我們定義它的價值為 $w_i$ 。新的遊戲目標是使得選出的圓價值和最大（不一定數量最多）。但是圓圈可能很多，或者圓圈的分布非常奇怪，或者小 $k$ 還有別的事情要做。所以他只好拜託你來幫他求出這個最大值了。

【輸入格式】

第一行乙個整數 $n$ 表示圓圈的個數。

接下來 $n$ 行每行 $4$ 個整數 $x_i,y_i,r_i$ 和 $w_i$ ，分別表示第 $i$ 個圓的圓心橫座標、縱座標、半徑，和價值。

【輸出格式】

輸出一行，包含乙個整數，代表選出的圓的最大價值。

【樣例】

樣例輸入

33 4 2 3

6 4 7 5

9 4 1 4

樣例輸出

7樣例解釋

如果選擇價值最大的圓 $2$ ，可以獲得的價值和為 $5$。如果選擇圓 $1$ 和圓 $3$，雖然它們的單個價值都不是最大的，但價值和可以達到 $3+ 4 = 7$。

【資料範圍與提示】

測試點編號

$n=$

$1$$1$

$2$$2$

$3$$3$

$4$$4$

$5$$8$

$6$$12$

$7$$16$

$8,9$

$1000$

$10,11$

$2000$

$12,13$

$3000$

$14,15$

$5000$

$16,17$

$60000$

$18,19$

$70000$

$20,21$

$80000$

$22,23$

$90000$

$24,25$

$100000$

對於全部測試資料 $1 \le x_i,y_i,r_i \le 10^8，1 \le w_i \le 1000 $。

保證不存在相交或相切的兩個圓。

【題解】

看到不互相包含的圓，顯然是最大權獨立集問題。又注意到每個圓一定被另乙個最小圓包含，因此圓與圓之間由包含關係構成樹形結構。若能夠建出樹則可以樹形 $dp$。

考慮 $60$ 分做法。按 $r$ 從小到大掃一遍，對於每個圓找到最小的包含它的圓，直接建邊跑樹形 $dp$ 即可。效率 $o(n^2)$。

考慮如何優化建樹。首先可以反過來建邊，從外往裡。同樣從小到大插入每個圓。由於圓與圓不相交，圓心在當前插入圓內的圓一定被當前圓包含。直接連邊然後刪除即可。

由於是二維限制，用 $kd-tree$ 或二維線段樹均可。

另一種做法是用掃瞄線，對於每個圓拆成上下兩半，左右兩個端點視為插入與刪除的掃瞄線。用 $set,splay$ 等資料結構維護每個半圓的位置上下關係。查詢時查詢上半圓前驅與下半圓後繼即可。

【**】

#includeinline int read ( void )
int f[100010],n,tot,root;
struct tree t[10000010];
struct circle c[100010];
std::vectore[100010];
const int inf=1000000000;
const int l=-inf,r=inf;
inline bool inside ( int l,int r,int d,int u,int x,int y,long long r )
inline void pushup ( int k ) 
inline int query ( int l,int r,int d,int u,int k,int x,int y,int r )
int mid1=(l+r)>>1,mid2=(d+u)>>1,res=0;
res+=query(l,mid1,d,mid2,t[k].ch[0],x,y,r);
res+=query(l,mid1,mid2+1,u,t[k].ch[1],x,y,r);
res+=query(mid1+1,r,d,mid2,t[k].ch[2],x,y,r);
res+=query(mid1+1,r,mid2+1,u,t[k].ch[3],x,y,r);
pushup(k);
return res;
}inline void modify ( int l,int r,int d,int u,int &k,int x,int y,int i )
int mid1=(l+r)>>1,mid2=(d+u)>>1;
if ( x<=mid1 and y<=mid2 ) modify(l,mid1,d,mid2,t[k].ch[0],x,y,i);
if ( x<=mid1 and y>mid2 ) modify(l,mid1,mid2+1,u,t[k].ch[1],x,y,i);
if ( x>mid1 and y<=mid2 ) modify(mid1+1,r,d,mid2,t[k].ch[2],x,y,i);
if ( x>mid1 and y>mid2 ) modify(mid1+1,r,mid2+1,u,t[k].ch[3],x,y,i);
pushup(k);
}signed main()
); for ( int i=1;i<=n;i++ ) f[i]=std::max(query(l,r,l,r,root,c[i].x,c[i].y,c[i].r),c[i].w),modify(l,r,l,r,root,c[i].x,c[i].y,i);
return !printf("%d\n",f[n]);
}

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1 圓圈舞蹈（circle ）

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