最短路演算法

今天，我們來總結圖的最短路演算法，它的基礎演算法如下：

part1：單源最短路

一、dijkstra演算法。

1核心思想：貪心演算法=>每次找最短的邊，標記該點並對其餘未標記點鬆弛。

2模板：

void
dijkstra()
//ans為dis[k] 
}

時間複雜度：o（n2）

3優化：找最短邊的時候可採用大根堆（優先佇列實現）時間複雜度o(m+nlogn)，**如下：

int
n,m,s,u,v,w,dis[n];
bool
vis[n];
vector 
int,int> >g[n];
pair 
t;priority_queue 
int,int> >q;
intmain()}}
}

注意：為適應優先佇列（小根堆），pair第一維是邊（帶負號，使之彈出邊最小的），第二維是點。

ps：dijistra 不適用於負邊權（貪心失效）

二、bellman ford演算法

1核心思想：動規f[i][j][k]=> i->j 經歷k步的min；

2轉移方程：f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+way(k->j) (k是某點，第三維省略）

3原理：乙個圖的最短路最多更新n-1次；

4空間複雜度o（mn）；

5優勢：可適用於負邊權，可判負環（如果第n+1次仍存在鬆弛，則存在負環）；

**什麼的......這個不重要（反正也幾乎不用），我們看優化版的spfa的吧

三、spfa演算法——bellman的優化

1核心思想：避免重複無效計算=>基於佇列的優化，能鬆弛的點才入隊。

2時間複雜度o（km）（ps：被卡時退化成o（nm））；

3優勢：**較短，可判負環，可用於負邊權。

**如下：

void
spfa()//
存在負環 
} }
}}

part2：多源最短路

四、floyd演算法

1核心思想：動規，f[i][j][k]=> i->j只經過點1~k的min

2轉移方程：f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j])(第三維省略）

3時間複雜度o（n3）

核心**如下：(極簡）

for(int k=1;i<=n;k++)//
中轉站 
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);

ps：k（中轉站）作為第三維一定是放在巢狀的最外層

ps：floyd在稠密圖中表現優秀，稀疏圖中可考慮n次dijkstra

part3：例題

eg1：奶牛的比賽

fj的n(1 <= n <= 100)頭奶牛們最近參加了場程式設計競賽:)。在賽場上，奶牛們按1..n依次編號。每頭奶牛的程式設計能力不盡相同，並且沒有哪兩頭奶牛的水平不相上下，也就是說，奶牛們的程式設計能力有明確的排名。整個比賽被分成了若干輪，每一輪是兩頭指定編號的奶牛的對決。如果編號為a的奶牛的程式設計能力強於編號為b的奶牛(1 <= a <= n; 1 <= b <= n; a != b) ，那麼她們的對決中，編號為a的奶牛總是能勝出。 fj想知道奶牛們程式設計能力的具體排名，於是他找來了奶牛們所有 m(1 <= m <= 4,500)輪比賽的結果，希望你能根據這些資訊，推斷出盡可能多的奶牛的程式設計能力排名。比賽結果保證不會自相矛盾。

第1行: 2個用空格隔開的整數：n 和 m

第2..m+1行: 每行為2個用空格隔開的整數a、b，描述了參加某一輪比賽的奶牛的編號，以及結果（編號為a，即為每行的第乙個數的奶牛為勝者）

第1行: 輸出1個整數，表示排名可以確定的奶牛的數目

輸入 # 輸出 #

5 5 2

4 34 2

3 21 2

2 5

輸出說明:

編號為2的奶牛輸給了編號為1、3、4的奶牛，也就是說她的水平比這3頭奶牛都差。而編號為5的奶牛又輸在了她的手下，也就是說，她的水平比編號為5的

奶牛強一些。於是，編號為2的奶牛的排名必然為第4，編號為5的奶牛的水平必然最差。其他3頭奶牛的排名仍無法確定。(sourse:洛谷 p2419)

分析：這是一道floyd的變式，什麼時候能確定奶牛的具體排名呢？當且僅當其餘奶牛與它能比較時成立，因此，我們可以用

bool f[i][j] 處理關係(1表示i強於j)，對輸入中任意一組關係a,b，f[a][b]=1,f[b][a]=0，用floyd的n次迴圈來處理，當f[i][k]=1&&f[k][j]==1時有f[i][j]=1

code:

1 #include 2
const
int n=101; 3
using
namespace
std;
4bool f[n][n];int n,m,ans=0;5
void judge(int
x)10
intmain()
17for(int k=1;k<=n;k++)
18for(int i=1;i<=n;i++)
19for(int j=1;j<=n;j++)
20 f[i][j]|=f[i][k]&f[k][j];//
精華,邏輯運算 
21for(int i=1;i<=n;i++) judge(i);
22 cout<23return0;
24 }

eg3:奶牛接力(source:洛谷

p2886）

fj 的n(2 <= n <= 1,000,000)頭奶牛選擇了接力跑作為她們的日常鍛鍊專案。至於進行接力跑的地點，自然是在牧場中現有的t(2 <= t <= 100)條跑道上。農場上的跑道有一些交匯點，每條跑道都鏈結了兩個不同的交匯點l1i和l2i(1 <=l1i <=1,000; 1 <= l2i <= 1,000)。每個交匯點都是至少兩條跑道的端點。奶牛們知道每條跑道的長度lengthi(1 <= l engthi <= 1,000)，以及每條跑道鏈結的交匯點的編號。並且，沒有哪兩個交匯點由兩條不同的跑道直接相連。你可以認為這些交匯點和跑道構成了一張圖。為了完成一場接力跑，所有n 頭奶牛在跑步開始之前都要站在某個交匯點上（有些交匯點上可能站著不只1頭奶牛）。當然，她們的站位要保證她們能夠將接力棒順次傳遞，並且最後持棒的奶牛要停在預設的終點。你的任務是，寫乙個程式，計算在接力跑的起點(s)和終點(e)確定的情況下，奶牛們跑步路徑可能的最小總長度。顯然，這條路徑必須恰好經過n條跑道。

輸入 #1 輸出 #1

2 6 6 4 10

11 4 6

4 4 8

8 4 9

6 6 8

2 6 9

3 8 9

大意：給出一張無向連通圖，求s到e經過k條邊的最短路。

簡析：這道題又是floyd的變式(怎麼又是奶牛),我們可以用f[i][j][k](其中第三維可省略)來表示從i到j，經過k條邊的min

當k=0時只有f[i][i]=0;

當k=1時只有f[i][j]=way(i->j)更新

當k=2

#include using
namespace
std;
int n,t,s,e,top=0,re[1001
];struct
juzheng,ans,c;
//單開結構體，方便傳數 
juzhen floyed(juzhen a,juzhen b)}}
returnc;}
void cheng(int n)
}int
main()
s=re[s],e=re[e];//
對映 memset(g.v ,0x3f,sizeof
(g.v));
memset(ans.v ,
0x3f,sizeof
(ans.v ));
for(int i=1;i<=top;i++) ans.v [i][i]=0;//
開始時(k=0)只有到自己的距離為零
cheng(n);
printf(
"%lld
",ans.v[s][e]);
return0;
}

to be continued...

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