首先我們現在有乙個矩陣\(r_\)，其中\(r_\)代表第\(i\)個使用者對第\(j\)個商品的喜愛程度。
\(lmf\)演算法認為每個商品上面都有一些隱因子，而顧客的喜愛程度是由這些隱因子來決定的。因此便可以將\(r_\)分解成\(p_ \times q_\)的形式。
矩陣\(p_\)代表了這\(m\)個使用者對\(f\)個隱因子的喜愛程度，\(q_\)代表這\(f\)個隱因子在這\(n\)個商品上的分布概率。
\[r'_=\sum_^f q_}
\]我們最終的目的是使得\(r_\)和\(r'_ \)盡可能的相近。因此，損失函式為:
\[f(p,q)=\sum-r'_)^2}
\]為了防止過擬合，需要加上乙個正則項來防止\(p_,q_\)過小或過大。
\[f(p,q)=\sum-r'_)^2}+\lambda(\sum^2}+\sum^2})
\]接下來就是對這個函式用梯度下降進行擬合，遞推式為：
\[p_=p_-\alpha\frac
\]\[q_=q_-\alpha\frac
\]這樣我們採用梯度下降演算法即可獲得\(r'\)矩陣
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy
##將r_nm分解成p_nk*q_km
def mf(r,p,q,k,times=100000,alp=0.0001,lb=0.01):
# q=q.t
for steps in range(times):# 迭代次數
for u in range(len(r)):
for i in range(len(r[u])):
if r[u][i]>0:
delta=r[u][i]-numpy.dot(p[u,:],q[:,i])
for f in range(k):
p[u][f]=p[u][f]+2*alp*(delta*q[f][i]-lb*p[u][f])#遞推運算
q[f][i]=q[f][i]+2*alp*(delta*p[u][f]-lb*q[f][i])
return p,q
if __name__ == "__main__":
r=[[5,3,0,1],
[4,0,0,1],
[1,1,0,5],
[1,0,0,4],
[0,1,5,4]
]k=2
n=len(r)
m=len(r[0])
##隨機生成p,q矩陣
p=numpy.random.rand(n,k)
q=numpy.random.rand(k,m)
##矩陣分解
ansp,ansq=mf(r,p,q,k)
ansr=numpy.dot(ansp,ansq)
print(ansr)
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