約瑟夫環問題

2022-09-06 03:00:12 字數 2634 閱讀 7211

問題描述:n個人(編號從1到n),從1開始報數,報到m的退出,剩下的人繼續從1開始報數。求勝利者的編號。

1:  

#include

2:  

#include

3:  

4:  

int

main()

5:
16:
17:  

printf("依次出列的號碼為:");

18:  

int

count;

19:  

for(count=0,temp=0 ; count

if( (i+1)== m )

28:
32:              ++i;
33:          }
34:  

printf("%d\t",temp+1);

35:  

if(count == n-1)

36:
39:      }
40:
41:  

return 0;

42:  }
43:

(注:circlist.h標頭檔案事先已經寫好,是迴圈鍊錶)

1:  

#include

"circlist.h"

2:  

3:  

template

t>

4:  

void

josephus(circlist

&js,int

n,int

m) //n---總數,m---目標數

5:  

18:          }
19:  

cout

<<"出列的人是:"

link = p->link;

21:  

delete

p;

22:  

p = pre->link;

23:  

if(p == js.gethead())

24:
28:      }
29:  }
30:
31:  

void

main()

32:
41:

無論是用鍊錶實現還是用陣列實現都有乙個共同點:要模擬整個遊戲過程,不僅程式寫起來比較煩,而且時間複雜度高達o(nm),當n,m非常大(例如上百萬,上千萬)的時候,幾乎是沒有辦法在短時間內出結果的。

為了討論方便,先把問題稍微改變一下,並不影響原意:

問題描述:n個人(編號0~(n-1)),從0開始報數,報到(m-1)的退出,剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。

我們知道第乙個人(編號一定是m%n-1) 出列之後,剩下的n-1個人組成了乙個新的約瑟夫環(以編號為k=m%n的人開始): 

k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2 

並且從k開始報0。

現在我們把他們的編號做一下轉換: 

k     --> 0 

k+1   --> 1 

k+2   --> 2 

... 

... 

k-2   --> n-2 

k-1   --> n-1

變換後就完完全全成為了(n-1)個人報數的子問題,假如我們知道這個子問題的解:例如x是最終的勝利者,那麼根據上面這個表把這個x變回去不剛好就是n個人情況的解嗎!!變回去的公式很簡單,相信大家都可以推出來:x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)個人報數的問題的解對,只要知道(n-2)個人的解就行了。(n-2)個人的解呢當然是先求(n-3)的情況 ---- 這顯然就是乙個倒推問題!好了,思路出來了,下面寫遞推公式:

令f[i]表示i個人玩遊戲報m退出最後勝利者的編號,最後的結果自然是f[n]

遞推公式 

f[1]=0; 

f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

有了這個公式,我們要做的就是從1-n順序算出f[i]的數值,最後結果是f[n]。因為實際生活中編號總是從1開始,我們輸出f[n]+1

由於是逐級遞推,不需要儲存每個f[i],程式也是異常簡單:

1:  

#include

2:  

3:  

int

main()

4:

約瑟夫問題 約瑟夫環

約瑟夫 問題 有時也稱為約瑟夫斯置換,是乙個出現在電腦科學和數學中的問題。在計算機程式設計的演算法中,類似問題又稱為約瑟夫環。又稱 丟手絹問題 據說著名猶太歷史學家 josephus有過以下的故事 在羅馬人占領喬塔帕特後,39 個猶太人與josephus及他的朋友躲到乙個洞中,39個猶太人決定寧願死...

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