動態規劃略有所得數字三角形 POJ1163

在上面的數字三角形中尋找一條從頂部到底邊的路徑，使得路徑上所經過的數字之和最大。路徑上的每一步都只能往左下或右下走。只需要求出這個最大和即可，不必給出具體路徑。三角形的行數大於1小於等於100，數字為 0 - 99

輸入格式：

5 //表示三角形的行數接下來輸入三角形

3 8

8 1 0

2 7 4 4

4 5 2 6 5

要求輸出最大和

用遞迴解決很簡單，從上到下遍歷一邊。

從第一行第乙個開始尋找，判斷左下或右下哪乙個更大，用快取陣列提高效率

1
if (i>=n||j>=n) 
4if (cache[i][j] != -1) 
7return cache[i][j]=math.max(maxsum(i+1, j, n), maxsum(i+1,j+1,n))+num[i][j];
8

但是遞迴的效率很慢，不是乙個好方法。

那麼動態規劃呢。

從下至上，首先計算最底層。底層是無需計算的，儲存即可。

下一步計算倒數第二層。

那麼用迴圈就可以很簡單的計算出最上面的第一行第乙個即為所求

1
public
class
poj1163 
14 i++;15}
16for (int j = 0; j < n; j++) 
19long starttime=system.currenttimemillis(); //
獲取開始時間
20 system.out.println(maxsum(0,0,n,cache,num));
21long endtime=system.currenttimemillis(); //
獲取結束時間
2324
int cal = new
int[n][n];
25 starttime=system.currenttimemillis(); //
獲取開始時間
26for (i = 0; i < n; i++) 
29for ( i = n-2; i >= 0; i--) 33}
34 system.out.println(cal[0][0]);
35 endtime=system.currenttimemillis(); //
獲取結束時間
3738}39
public
static
int maxsum(int i,int j, int n, int cache,int
num) 
43if (cache[i][j] != -1) 
46return cache[i][j]=math.max(maxsum(i+1, j, n,cache,num), maxsum(i+1, j+1,n,cache,num))+num[i][j];47}
4849 }

還有一種節省空間的方法用一維陣列儲存最大值

1
int cal1 = new
int[n];
2for (i = 0; i < n; i++) 
5for ( i = n-2; i >= 0; i--) 
9 }

接下來，我們就進行一下總結：

遞迴到動規的一般轉化方法

遞迴函式有n個引數，就定義乙個n維的陣列，陣列的下標是遞迴函式引數的取值範圍，陣列元素的值是遞迴函式的返回值，這樣就可以從邊界值開始，逐步填充陣列，相當於計算遞迴函式值的逆過程。

動規解題的一般思路

1. 將原問題分解為子問題

2.確定狀態

整個問題的時間複雜度是狀態數目乘以計算每個狀態所需時間。在數字三角形裡每個「狀態」只需要經過一次，且在每個狀態上作計算所花的時間都是和n無關的常數。

3.確定一些初始狀態（邊界狀態）的值

以「數字三角形」為例，初始狀態就是底邊數字，值就是底邊數字值。

4. 確定狀態轉移方程

定義出什麼是「狀態」，以及在該「狀態」下的「值」後，就要找出不同的狀態之間如何遷移――即如何從乙個或多個「值」已知的「狀態」，求出另乙個「狀態」的「值」(遞推型)。狀態的遷移可以用遞推公式表示，此遞推公式也可被稱作「狀態轉移方程」。

數字三角形的狀態轉移方程:

能用動規解決的問題的特點

1) 問題具有最優子結構性質。如果問題的最優解所包含的子問題的解也是最優的，我們就稱該問題具有最優子結構性質。

2) 無後效性。當前的若干個狀態值一旦確定，則此後過程的演變就只和這若干個狀態的值有關，和之前是採取哪種手段或經過哪條路徑演變到當前的這若干個狀態，沒有關係。

動態規劃略有所得數字三角形 POJ1163

動態規劃數字三角形

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